CPS Lecture 12 FM Bandwidth Analysis

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2025/12/04 19:29:24 CST

定义 ：

代表了FM的瞬时频率由调制信号的整个过去所决定。

FM 信号表示 (The FM signal Representation)

FM 信号可以写作：

• 这个等式将信号分为载波部分 和调制部分 。
• 其中 是频率灵敏度（表示载波频率随调制信号变化的程度）。

FM 带宽分析

展开 FM 信号 (Expanding the FM signal)

使用麦克劳林级数展开（一种在 t=0 处对函数进行的泰勒级数展开），调制信号 可以被展开为一个幂级数：

FM 信号是真实世界信号，所以我们只关心复指数的实部。展开的 FM 信号的实部是：

将此应用于展开的级数，我们得到以下实信号表达式：

如果 的带宽是 B，当 与自身相乘时，频域中的卷积会导致频谱的扩展。 如果原始信号 的频率分量范围从 到 ，那么在自乘之后，新的频率分量将从 到 。

FM 波的带宽在理论上是无限的

FM 带宽

• 正弦和余弦项在载波频率 周围贡献了边带。这导致 FM 信号具有多个频率分量，从而增加了其带宽。
• 功率级数展开帮助我们理解 FM 信号具有无限的边带，但这些边带的幅度随高阶项而减小，使得大部分信号能量集中在有限的带宽内。

FM 的理论带宽 vs. 实际带宽

理论带宽 (Theoretical Bandwidth):

• 理论上，FM 信号的带宽是无限的，因为 FM 调制会产生无限数量的边带。 实际带宽 (Practical Bandwidth):
• 对于幅度 有界的实际信号，重要边带的数量变为有限的。
• 表达式 表明，随着 的增加，高阶项变得可以忽略不计，这意味着高阶边带对总信号的贡献非常小。 * 这是因为阶乘 的增长速度远快于 的幂。

NBFM (Narrowband FM) 带宽计算

FM 信号表示 (FM signal Representation)

• 这是一个窄带 FM (narrowband FM) 信号表示。
• 当调制指数 时，这个近似是良好的。
• 通常，我们认为 2B 带宽是窄带。
• 相位调制 (Phase Modulation, PM) 具有相似的表达式。

AM vs. 窄带 FM (NBFM)

特征	AM	NBFM
信号表示
**带宽 **	2B	2B (窄带近似)
相位偏移	没有相位偏移	由调制信号引入 的相位偏移
频率随时间变化	恒定在	随 变化
幅度随时间变化	随 变化	幅度保持恒定

困境

• 为了充分利用 FM（或 PM），我们需要使频率偏移足够大
• 需要选择足够大的 来打破 的条件
• 这就是宽带 FM (wideband FM) 的情况
• 我们不能再忽略功率级数中的高阶项
• 我们需要依靠经验公式来估计带宽

WBFM (Wideband FM) 带宽计算

WBFM 带宽分析

Step 1: 估计消息信号

从一个低通信号 开始，它的带宽为 B Hz。 不直接处理连续信号 ，而是使用阶梯近似（staircase approximation）来简化它。这意味着我们用小的恒定脉冲来表示 。每个脉冲被称为一个“单元”（cell）。

Step 2: 分析估计信号

使用阶梯近似 来分析 FM 信号更容易，因为现在每个单元在短时间间隔内具有恒定值。 每个单元都是一个宽度为 秒的短脉冲。 每个单元中的（调制后）信号是一个正弦波，其频率由 决定。 为确保此近似保留原始信号中的所有信息，每个单元的宽度不应大于 秒。这个条件来自采样定理，它告诉我们需要多频繁地采样信号以保持所有信息完整。

Step 3: 正弦波的频谱

Step 4: 脉冲中心频率

信号中的每个正弦脉冲对应一个以 为中心的频率。 的最小值和最大值（分别表示为 和 ）决定了这些频率的范围。

• 最小中心频率是 。
• 最大中心频率是 。

Step 5: 脉冲中心频率计算

• 总频谱不仅仅局限于 。由于 sinc 函数，每个正弦脉冲的频谱都会有一定程度的扩展。sinc 函数的主瓣会在中心频率的任一侧将频率内容扩展 。
• 因此，FM 信号的总带宽来自中心频率和 sinc 函数引起的扩展。频谱中的最小和最大显着频率为：

Step 6: FM带宽计算

• 最后，FM 带宽约等于使用此表达式计算：

简化后，我们得到：

其中 B 是双边消息带宽 (two-sided message bandwidth)。

Where is the maximum frequency of the modulating signal.

卡森法则 (Carson's Rule)

卡森法则 (Carson's Rule) 为 FM 信号的带宽提供了一个实用的近似值：

其中:

• : 总 FM 带宽 (单位: Hz)
• : 峰值频率偏移 (载波频率与其未调制值之间的最大偏移量)
• : 消息信号带宽 (调制信号中存在的频率范围)