CPS Lecture 13 FM Demodulation

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2026/03/12 19:32:17 CST

使用音调的 FM (FM with a Tone)

消息信号的积分:

需要对消息信号进行积分，因为频率调制取决于消息信号的累积值，而不仅仅是其瞬时值。

这个积分代表 FM 中使用的相位项。

FM 信号表示

FM 信号可以写作：

简化形式: 将积分 代入 FM 信号方程：

与贝塞尔函数的联系 (Connection to Bessel Functions):

FM 作为周期函数: 项 ，其中 ，是一个周期函数。我们可以使用傅里叶级数展开此函数：

其中 是傅里叶系数，它决定了每个谐波的幅度。 周期函数 的通用傅里叶系数公式为：

系数 是通过对函数进行一个周期的积分得到的：

该积分引出贝塞尔函数：

项 是第一类 n 阶贝塞尔函数。 表示围绕载波频率的第 n 个边带的幅度和相位（通过符号）。 调制指数

控制信号能量如何在不同谐波之间分布。

其中 。

• 单音 FM 信号: FM 引入了周期性的频率偏移，这可以使用贝塞尔函数来表示。
• 贝塞尔函数与谐波: FM 信号包含谐波分量，其幅度由贝塞尔函数确定。
• 调制指数 的控制作用: 调制指数 控制频率内容如何在谐波之间扩展，越大的 会导致更宽的扩展。

FM 解调

瞬时频率 是 FM 信号相位的导数：

因此，当我们对 FM 信号的相位进行微分时，我们可以恢复出 项，从而解调出消息信号 。

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基于微分的解调

实现这一目标的最简单方法是使用理想的微分器 (differentiator)。 对 FM 信号 应用微分：

结果是：

包络检测 (Envelope Detection)

• 微分前: 消息信号 调制 FM 信号的频率，但不调制其幅度。
• 微分后: 消息信号 同时影响信号的频率和幅度。
• 微分后信号的包络为 。
• 我们可以通过检测微分后信号的幅度变化（包络）来恢复消息信号。
• 失真问题: 如果原始幅度 发生变化（例如由于信道噪声），包络会变为 。这将导致包络检波器的输出与 和 都成正比，从而导致恢复信号的失真。
• PM 信号: 相同的原理也适用于 PM（相位调制）信号。FM 解调器同样可以用于 PM 解调。

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实际的 FM 解调器：斜率检测 (Slope Detection)

任何具有正斜率频率响应的线性系统都可以近似微分器的作用。这种方法被称为斜率检测 (Slope Detection)。

使用 RC 高通滤波器: 一个简单的 RC 高通滤波器可用于斜率检测。

• 频率响应为: 。
• 当 时， ，此时滤波器近似一个微分器（）。
• 滤波器频率响应中的线性部分 (Linear segment) 是其能近似微分器行为的关键。

使用 RLC 电路:

• RLC 调谐电路后跟一个包络检波器也可以用作频率检测器。
• 在谐振频率 以下，RLC 电路的频率响应 近似为线性斜率。
• 接收器设计要求： 载波频率必须满足 。

斜率检测的局限性:

• 斜率仅在很小的频带内是线性的。
• 这会导致在较宽的频率变化范围内输出失真。
• 改进方法: 使用由两个斜率检测器组成的平衡鉴别器 (balanced discriminator)，或使用比例检测器 (ratio detector) 来更好地防止幅度变化。

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过零检测器 (Zero-Crossing Detectors)

由于数字集成电路的进步，过零检测器得以应用。 它们通过计算过零点的数量来测量信号的瞬时频率。

过零率是输入信号瞬时频率的两倍。 因此，过零检测器可以轻松解调 FM 或 PM 信号。

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超外差接收机 (Superheterodyne Receivers)

频率混合器（或转换器）在超外差接收机中至关重要。 它将已调信号 的载波角频率从 更改为新的中频 (IF) 。 这是通过将已调信号乘以 来实现的，其中 或 。 混合后的结果为：。

我们只保留低频分量——差频。 超外差接收机的优势:

• 1. 下变频至中频 (IF): 允许使用高灵敏度的放大器，这对于提高整体信号质量和增强弱信号至关重要。
• 2. 简化滤波器设计: 在射频 (RF) 上设计带通滤波器非常困难。降至中频 (IF) 简化了滤波器的设计和实现，因为频率更低且更易于管理。

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锁相环 (Phase-Locked Loop - PLL)

PLL 是一个负反馈系统，主要用于 FM 解调。

• 它将 FM 信号的相位与本地生成的参考信号的相位进行比较。

PLL 的基本组成部分:

• 1. 压控振荡器 (VCO): 根据输入电压调整其输出频率。
• 2. 乘法器 (Multiplier): 作为鉴相器，比较输入信号和 VCO 输出的相位，以检测相位差。
• 3. 环路滤波器 (Loop Filter ): 对来自乘法器的输出进行滤波，以平滑信号。

PLL 工作原理:

• PLL 比较的是信号的相位，而不是幅度。VCO 调整其频率以匹配输入信号的相位。这个反馈环路使 VCO 输出能够跟踪输入信号的相位和频率，保持系统锁定和同步。

产生误差信号:

1. 乘法器（鉴相器）的输出包含相位差信息。
2. 假设输入信号为 ，VCO 输出为 。
3. 乘法器输出为: 。
4. 使用三角函数积化和差公式，输出重写为： $$ \nu_{pd}(t)=\frac{A_{1}A_{2}}{2}[cos((\omega_{in}-\omega_{vco})t+(\phi_{in}-\phi_{vco}))+cos((\omega_{in}+\omega_{vco})t+(\phi_{in}+\phi_{vco}))] $$
5. 此输出包含一个低频（差频）分量 和一个高频（和频）分量 。

低通滤波: 环路滤波器（低通滤波器） 移除高频分量 。 仅保留低频分量，这被称为误差信号 (error signal)。 该误差信号与相位差成正比，用作控制信号来调节 VCO 的频率，从而使 PLL 保持锁定。

锁定条件 (Lock Condition): 当 PLL 锁定时，VCO 的频率与输入信号的频率相匹配，并且两个信号之间的相位差变为恒定。