2 Discrete-Time Signals in the Time Domain
时人不识凌云木，直待凌云始道高。
章节目录
- 章节目录
- 2-1 时域表示 Time-Domain Representation
- 2-2 序列的基本运算 The Basic Operations On Sequences
- 2-3 序列的分类
- 2-4 典型序列 Typical Sequences
- 2-5 采样 Sampling
2-1 时域表示 Time-Domain Representation
基本表示方法
- 离散信号可以被表示为
，其中 也可以代表序列的第 个值； 在 为非整数时没有定义； - 使用
表示离散序列。
对于一个复数序列
在没有歧义的情况下，可以省略花括号来表示序列。
离散时间信号的两种类型
- 采样信号，其中样本是连续值；
- 数字信号，其中样本是离散值。
实际的数字信号处理系统中的信号是通过舍入或截断对样本值进行量化得到的数字信号。
离散时间信号的长度
一个离散信号可能是有限长度或者无限长度的序列。
对于一个长度定义在
零填充 Zero-Padding： 给信号添加零值样本。
一个 right-sided 右侧序列的定义是
。
如果
一个 left-sided 左侧序列的定义是
。
如果
反因果（anticausal）是非因果（noncausal）的一种特殊情况。
非因果的意思是“不是因果”，也就是序列或系统只要涉及负时刻样本、或输出依赖未来输入，就属于非因果；
而反因果更严格，它要求只出现在当前及过去一侧，或者系统输出只依赖当前和未来而不依赖更早的过去。
因此，所有典型的反因果对象通常都可看作非因果，但非因果不一定是反因果，因为一个非因果对象也可能同时包含过去和未来两侧的成分，而不是纯粹只在一侧。离散时间信号的强度
我们通常使用信号的范数来定义其强度，即
其中
的序列的均方根值(rms)； 的序列的绝对值均值； - 显然有
同样地，范数也可以用来估计误差，例如：
- 均方误差：
- 相对误差：
2-2 序列的基本运算 The Basic Operations On Sequences
基本运算
- 乘法器 (Modulator / Product / Windowing)
- 加法器 (Adder)
- 单位延时 / 单位超前 (Unit Delayer / Advance)
- 时间翻转 (Time-reversal)
卷积和 Convolution Sum
卷积和被定义为：
，同样可被简单表示为
。
采样率转换
上采样 Up-sampling
下采样 Down-sampling
循环操作 / 圆操作 (Circular Operation)
对于有限序列，其定义域为
定义取模操作
循环时间翻转 Circular Time-reversal
，其中两序列均定义在
循环时移 Circular Shift
。
2-3 序列的分类
- 基于对称性的分类
| 复序列 | 实序列 | |
|---|---|---|
| 共轭对称 / 偶 | ||
| 共轭非对称 / 奇 |
对于一个复序列
。
- 基于周期性的分类
周期性 如果一个序列满足
，则
基本周期：
周期函数加法
其中
其中LCM为最小公倍数，GCD为最大公约数。
- 能量 / 功率信号分类
信号的能量和平均功率分别定义为：
- 能量信号： 一个能量有限，平均功率为0的信号。
- 功率信号： 一个能量无限，平均功率有限的信号。
- 其它分类方法
有界 Bounded：
绝对可和 Absolutely Summable：
均方可和 Square-summable：
2-4 典型序列 Typical Sequences
反正就那几种，懒得写了2-5 采样 Sampling
归一化角频率 Normalised Angular Frequency
在数字信号处理中，归一化角频率是连接连续时间信号与离散时间系统的核心桥梁。若连续时间角频率为
关键物理对应关系为：
，这是数字系统能无混叠表示的最高物理频率。
因此，归一化角频率将具体的物理频率统一映射到一个固定的、周期性的数字标尺（主值区间通常取