3 Discrete-Time Signals in the Frequency Domain Part I

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2026/03/16 17:38:46 CST

后来，错过也成了人间常态。

章节目录

• 章节目录
• 3-1 连续时间傅里叶变换 CTFT
• 3-2 离散时间傅里叶变换 DTFT
  • 定义
  • 性质
• 3-3 DTFT 定理
• 3-4 离散时间序列的能量谱密度 ESD
• 3-5 带限离散时间信号
• 3-7 展开相位函数 Unwrapped Phase Function

3-1 连续时间傅里叶变换 CTFT

TIP

让我们假设你全都会了。如果你不会，去看看信号与系统吧，在你学过信号与系统后，DSP的3-1全是废话。

3-2 离散时间傅里叶变换 DTFT

定义

一个离散序列的DTFT定义为：

。

类似地，其 IDTFT(Inverse DTFT) 定义为：

。

离散序列在频域上具有周期性。

性质

1. 复数性质

作为一个有实值自变量的复函数，具有一些复数的基本性质。因此可以表示为以下两种形式：

1. 直角坐标形式 Rectangular Form

2. 极坐标形式 Polar Form

其中 。

我们将 称作幅度函数 Magnitude function， 称作相位函数 Phase function 。它们都是 的实函数。

通过直角坐标形式和极坐标形式，我们可以通过它们的数学关系得到一些美妙的公式：

1. 实部公式

2. 虚部公式

3. 模平方公式

4. 相角公式

注：对于一个实序列 ， 和 是 的偶函数；而 和 是 的奇函数。

包裹相位与展开相位 Wrapped Phase & Unwrapped Phase

通过极坐标形式的定义，可以发现：

。这是由欧拉公式得到的，即将复指数函数拆解为三角函数形式。

因此只需要确定在一个 周期内的相位值，即可得到整个 域上的相位值。

所以我们规定： 区间被称为主值区间 Principal Value, 也被称作包裹相位 Wrapped Phase 。

在这种规定下，相位变成了一个以 为周期的周期函数。但在每一个周期的过渡点会造成间断点。

把原始相位函数中那些由于包裹造成的不连续跳变去掉后，得到的连续相位函数，叫展开相位 Unwrapped phase。

以上可以简单表述为：

• Wrapped phase：把相位限制在 ；
• Unwrapped phase：把这些 的折返补回去，使曲线连续。

下图是一个 的例子：

2. 对称关系

序列	离散时间傅里叶变换
共轭对称关系
实部是偶函数
虚部是奇函数
幅度是偶函数
相位是奇函数

NOTE

和 分别表示 的偶分量和奇分量。

序列	离散时间傅里叶变换

NOTE

和 分别表示 的共轭对称部分和共轭反对称部分。
同样， 和 分别表示 的共轭对称部分和共轭反对称部分。

3. 收敛情形

如果我们记：

（其实就是把DTFT上下限的无穷换成了K）；

则有

1. 一致收敛 Uniform Convergence

2. 均方收敛 Mean-square Convergence

这里与随机过程中各态历经性 Ergodicity 的分析方法是类似的。
不过各态历经性针对的是随机过程的统计量，而这里则是用有限的频率分量来逼近一个确定的信号。

• 绝对可和是一致收敛的充分条件
• 有限能量（有限平方和）是均方收敛的充分条件
• 绝对可和是平方可和的充分条件，即绝对可和是更强的约束

绝对可和	平方可和
绝对和有限 DTFT 逐点存在 DTFT 一致收敛 频谱是连续、有界的普通函数	总能量有限 DTFT 在均方意义下存在 但不能保证绝对收敛 不能保证频谱处处连续 也不能保证一致收敛

DTFT 的强度

DTFT的强度同样由其范数给出。对于一个DTFT函数 的 ，定义：

，其中 为正整数。

与时域类似， 的值通常取 1，2或正无穷。

3-3 DTFT 定理

和CTFT的差不多，就那几样倒来倒去。
但我还是搓了个表格，这真的很帅。

性质	时域	频域
线性性
时移
频移
频域微分
卷积
调制
Parseval 关系

同样地，与CTFT类似，通过时频转换简单计算卷积：

。

3-4 离散时间序列的能量谱密度 ESD

这里的原标题是 Energy Density Spectrum，但实际上更通用的写法是Energy Spectral Density (ESD)。在这里两者定义完全相同，只是名称有差异。为了方便，后文统一使用 ESD 代表能量谱密度 / 能量密度谱。

一个有限能量序列的能量可定义为：

。

与CTFT类似，DTFT同样遵循 Parseval 关系，即：

与CTFT不同的是，这里 Parseval 关系频域部分只积分了一个周期而不是整个 \omega 轴。
原因是DTFT作为周期函数，其一个周期内包含了所有频域信息。作为对比，CTFT的频谱通常延伸到无穷，需要对整条轴进行积分。

通过上述关系，我们可以获得 ESD 的定义，即：

。其中 的下标代表这是该信号的自能量谱密度。

离散时间序列的ESD同样以 为周期，且 在 区间内曲线以下的面积乘 即为该序列能量。

3-5 带限离散时间信号

一个全频带DT信号的主频谱占据了频谱上 的整个区间。而一个带限DT信号频谱只占有 的一部分区间。

基于此性质，例如一个只占据 的理想带通信号可写成：

。

在实际中，可以通过压制信号特定频谱外的能量来获得一个近似的带限信号。

在DT信号和DTFT中，低通，高通，带通的定义与CT信号类似。但是 范围被限制在了 。

3-7 展开相位函数 Unwrapped Phase Function

3-6全是Matlab，略。

在数值计算中，当计算出的相位函数超出范围 时，相位会按 计算，以将计算值带入此范围。因此，某些序列的相位函数在图中表现出 的间断性。因此，我们直接计算并绘制出的相位图，并不是一条连续的周期曲线，而是一条在周期边界处有 2π跳变的不连续曲线。它本质上是连续的周期相位函数经过“取模 2π”运算后，被折叠和截断到主值区间内的结果。

在数学上，相位 的值域应当为整个实数域。数学上允许相位趋向无穷，是为了获得一个连续、光滑、可微的相位函数 θ(ω)，这对于系统分析和设计至关重要。例如，群延迟（衡量系统对不同频率信号延迟的特性）就定义为相位导数的负值。

如果相位被限制在主值区间内，其导数将在跳变点处出现无法定义的冲激，这完全破坏了其物理意义。而展开后的连续相位，其导数是一个良定义的、有物理意义的函数。

对相位展开的证明和处理如下：

相位函数成为 的连续函数的条件：

信号的离散时间傅里叶变换 (DTFT) 可表示为极坐标形式：

其中， 为相位函数。

为分析其连续性，对等式两边取自然对数：

然后，对频率变量 求导：

相位函数 可以通过其导数 唯一地定义。

展开相位的定义：

相位函数 可以通过对其导数的积分来明确定义，从而得到一个连续的展开相位：

在约束条件 下，所得的 将是 的连续函数。

进一步的性质： 此外，对于实序列（满足共轭对称）的相位，如果满足以下条件（即相位导数在一个完整周期内的平均变化为零）：

那么，此展开相位 还将是 的奇函数，即满足 。