8 Digital Filter Structure
我听到水流进入我的身体，我听到阳光穿透海面。
章节目录
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- 8-1 框图表示 Block Diagram Representation
- 8-2 基本结构变换 Basic Structure Transformations
- 8-3 FIR 滤波器结构 FIR Filter Structures
- 8-4 IIR 滤波器结构 IIR Filter Structures
- 8-5 复杂度与实现选择 Complexity and Implementation Choice
8-1 框图表示 Block Diagram Representation
8-1-1 基本构件 Basic Building Blocks
数字滤波器的实现可以是软件算法，也可以是硬件电路。框图表示给出内部变量、输入、输出和延迟样本之间的计算关系。
常用基本构件有：
- 加法器 Adder：输出为多个输入之和；
- 乘法器 Multiplier：把信号乘以常数系数；
- 分支节点 Pick-off Node：复制同一个信号到多条支路；
- 单位延迟 Unit Delay：
。
单位超前
8-1-2 从卷积到结构 From Convolution to Structure
对 LTI FIR 系统，
若系统因果且阶数为
这个式子可以直接实现，因为只需要有限个乘法器、加法器和延迟器。
对 LTI IIR 系统，
冲激响应无限长。直接按卷积求和不适合实现，所以 IIR 一般从传递函数或差分方程出发。
设有理传递函数为
则对应差分方程为
这里的反馈项
8-1-3 框图分析 Block Diagram Analysis
分析框图时，一般先给内部节点命名，再写节点方程。
以上图为例：
其中
于是
代回
此类框图分析不需要预先判断结构类型。按节点写方程，消去内部变量即可。
8-2 基本结构变换 Basic Structure Transformations
8-2-1 无延迟环路 Delay-Free Loop
无延迟环路 Delay-Free Loop 指一条反馈环路中没有任何
图中左侧结构满足
展开得
若
由此得到右侧的等价无环结构。
注意，原结构的
8-2-2 典范结构 Canonic Structure
典范结构 Canonic Structure 的延迟器数量等于实现该传递函数所需的最小状态数。
对一个阶数为
对一般 IIR 传递函数
若按 DF-I 分开实现分子和分母，通常需要
个延迟器。分子、分母同阶时就是
8-2-3 转置结构 Transposed Structure
由一个结构得到转置结构的规则：
- 反转所有支路方向；
- 交换加法器和分支节点；
- 交换输入节点和输出节点。
转置前后的传递函数相同。这条性质通常称为转置定理 Transposition Theorem。
在无限精度下，等价结构具有相同的输入输出关系。但在有限字长实现中，不同结构的舍入误差、溢出风险和内部动态范围可能不同。因此，结构选择会影响实际数值性能。
8-3 FIR 滤波器结构 FIR Filter Structures
8-3-1 直接型 Direct Form
因果 FIR 滤波器的传递函数为
对应时域表达式为
直接型按照上述求和式连接：输入依次通过
FIR 直接型需要：
个延迟器； 个二输入加法器。
转置直接型由转置定理得到。它和直接型实现同一个
8-3-2 级联型 Cascade Form
FIR 传递函数也可以分解为一阶或二阶因子：
当
实系数 FIR 的复零点成共轭对出现，因此常把一对共轭零点合成一个二阶节。级联型适合单独调整某一组零点，也适合把高阶滤波器拆成若干小模块。
8-3-3 多相实现 Polyphase Realization
多相分解 Polyphase Decomposition 把 FIR 系数按下标模
对
定义第
则
例如
其中
多相结构常用于抽取、插值和滤波器组。它的总乘法次数不一定减少，但可以把部分运算安排到较低采样率的分支上。
8-3-4 线性相位结构 Linear-Phase Structures
FIR 具有线性相位的常见条件是冲激响应关于中点对称或反对称：
对称时，一对系数可以共用一个乘法器。
当长度为奇数，即
当长度为偶数，即
若为反对称结构，上式中的加号改为减号：
线性相位结构的乘法器数量约为直接型的一半：
8-4 IIR 滤波器结构 IIR Filter Structures
8-4-1 直接型 Direct Forms
一般 IIR 传递函数写成
对应差分方程为
Direct Form I, DF-I 可以看作先实现分子
DF-I 的前向延迟线和反馈延迟线分开，结构关系清楚；其代价是延迟器数量通常较多。
Direct Form II, DF-II 把两条延迟线合并。定义内部状态
输出为
实际书写时，若
8-4-2 二阶节级联 Second-Order Sections
高阶 IIR 通常分解成若干二阶节实现：
其中
这种形式称为 Second-Order Sections, SOS。MATLAB 中常见的 tf2sos、zp2sos 用于生成二阶节表示。
级联结构还需要确定：
- 零极点如何配对；
- 二阶节排列顺序；
- 每一节的增益如何缩放。
这些选择会影响内部溢出和量化噪声。实际工程中，高阶 IIR 更常用 SOS 级联结构，较少直接使用高阶 DF-II。
8-4-3 并联型 Parallel Form
并联型来自部分分式展开：
若按实系数二阶节组织，可写为
并联型的输出为各分支输出之和。它适合从留数形式实现滤波器，也便于单独修改某一组极点对应的分支。
对简单一阶例子：
分解为
于是两个一阶 IIR 分支并联，最后把输出相加。
8-5 复杂度与实现选择 Complexity and Implementation Choice
8-5-1 复杂度对比 Complexity Comparison
对阶数为
| FIR 结构 | 乘法器数量 | 二输入加法器数量 | 延迟器数量 |
|---|---|---|---|
| 直接型 Direct form | |||
| 级联型 Cascade form | |||
| 多相型 Polyphase | |||
| 线性相位 Linear phase |
对分子、分母同为
| IIR 结构 | 乘法器数量 | 二输入加法器数量 | 延迟器数量 |
|---|---|---|---|
| DF-I | |||
| DF-II / 转置 DF-II | |||
| SOS 级联 Cascade SOS | |||
| 并联型 Parallel form |
这些表只统计结构复杂度。数值性能还取决于系数量化、舍入方式、溢出处理和内部动态范围。
8-5-2 实现选择 Implementation Choice
FIR 的选择通常比较直接：
- 系数没有特殊性质时，用直接型或转置直接型；
- 有线性相位约束时，用线性相位结构减少乘法器；
- 做抽取、插值、滤波器组时，优先考虑多相结构；
- 需要按零点分组调节时，可以用级联型。
IIR 的选择更依赖数值稳定性：
- 低阶例题可以使用 DF-I 或 DF-II；
- 高阶 IIR 工程实现优先使用 SOS 级联；
- 部分分式结果自然给出并联型；
- 有限字长实现中，结构等价不必然带来相同误差特性。
实现选择可按以下线索判断：
滤波器结构讨论的是同一个