9 IIR Digital Filter Design
目的虽有，却无路可循；我们称之为路的，无非是踌躇。
章节目录
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- 9-1 设计指标 Design Specifications
- 9-2 模拟低通原型 Analog Lowpass Prototypes
- 9-3 冲激响应不变法 Impulse Invariance Method
- 9-4 双线性变换 Bilinear Transformation
- 9-5 频率变换 Frequency Transformations
- 9-6 易错点 Common Pitfalls
9-1 设计指标 Design Specifications
9-1-1 幅度指标 Magnitude Specifications
IIR 数字滤波器设计的目标，是求一个稳定因果的有理传递函数：
使它的频率响应
以低通滤波器为例，通常给定四个量：
- 通带边缘 Passband Edge：
； - 阻带边缘 Stopband Edge：
； - 通带允许偏差 Passband Deviation：
； - 阻带允许偏差 Stopband Deviation：
。
对应的幅度约束为：
边缘频率若用 Hz 给出，可换算为数字角频率：
其中：
：采样频率；
注意，数字角频率的范围是
9-1-2 dB 指标与归一化 Normalized Specifications
损耗函数 Loss Function 定义为：
因此通带最大衰减和阻带最小衰减可写作：
反过来：
例如：
模拟原型里更常用归一化写法：
其中：
这里
9-1-3 IIR 设计流程 IIR Design Flow
IIR 设计通常借助模拟低通逼近。原因在于模拟滤波器的 Butterworth、Chebyshev、Elliptic 等逼近方法已有成熟的闭式公式和设计表。
基本流程为：
- 将数字指标转成模拟低通原型指标；
- 选择 Butterworth / Chebyshev / Elliptic 等模拟低通原型；
- 求原型阶数
和 ； - 用冲激响应不变法或双线性变换得到
； - 做幅度缩放，使通带最大增益为
。
如果
常见特殊点：
带通滤波器通常取通带中心频率
9-2 模拟低通原型 Analog Lowpass Prototypes
9-2-1 Butterworth 低通原型 Butterworth Prototype
Butterworth 低通的特点是通带单调且最大平坦 Maximally Flat。
其幅度平方响应为：
其中：
：滤波器阶数； ： 截止频率。
在
所以：
由通带和阻带指标：
可得阶数估计式：
实际阶数取向上取整：
再由通带边缘求
也可以由阻带边缘求：
Butterworth 极点位于半径为
传递函数可写为：
9-2-2 Chebyshev 低通原型 Chebyshev Prototype
Chebyshev 的特点是用纹波换取更窄的过渡带。
Chebyshev 多项式定义为：
Type I Chebyshev 在通带等波纹，阻带单调：
当
阶数为：
Type II Chebyshev 又叫 inverse Chebyshev，通带单调，阻带等波纹：
Type II 的阶数估计仍可用同一形式：
9-2-3 Elliptic 低通原型 Elliptic Prototype
Elliptic 低通也叫 Cauer filter，通带和阻带都允许等波纹，因此在同样指标下阶数通常最低。
其幅度平方响应写作：
其中
记：
近似阶数可由：
其中：
实际仍取向上取整：
9-2-4 原型对比 Prototype Comparison
同一组指标下，大致有：
| 原型 Prototype | 通带 Passband | 阻带 Stopband | 过渡带 Transition Band |
|---|---|---|---|
| Butterworth | 单调，最大平坦 | 单调 | 最宽 |
| Chebyshev Type I | 等波纹 | 单调 | 比 Butterworth 窄 |
| Chebyshev Type II | 单调 | 等波纹 | 比 Butterworth 窄 |
| Elliptic | 等波纹 | 等波纹 | 最窄 |
以
Butterworth：
Chebyshev：
Elliptic 通常还能继续降阶。代价是通带和阻带都有纹波，相位也更不线性。
9-3 冲激响应不变法 Impulse Invariance Method
9-3-1 基本映射 Basic Mapping
冲激响应不变法通过采样模拟系统的冲激响应建立数字滤波器。
若模拟原型为：
则数字滤波器冲激响应取：
也可写作
由
因此：
平面虚轴 平面单位圆； - 左半平面
- 若模拟滤波器稳定，则映射后的数字滤波器也稳定。
9-3-2 传递函数变换 Transfer Function Conversion
若模拟传递函数可展开为部分分式：
则：
采样并乘上
做 Z 变换：
所以单个模拟极点
注意，这个方法主要保证极点映射关系。零点不具有同样的一一对应映射。
9-3-3 混叠问题 Aliasing Problem
频率轴关系为：
如果使用
该式表示模拟频率响应会以
因此冲激响应不变法适合模拟低通或带限程度较好的系统。若模拟滤波器的高频分量很强，数字滤波器会出现明显混叠。
WARNING
冲激响应不变法没有 frequency warping，但有 aliasing。
双线性变换没有 aliasing，但有 frequency warping。
9-4 双线性变换 Bilinear Transformation
9-4-1 s 平面到 z 平面的映射 Mapping from s-plane to z-plane
双线性变换使用如下代换：
于是：
反变换为：
设
因此双线性变换同样把稳定模拟系统映射成稳定数字系统。
9-4-2 频率压缩与预畸变 Frequency Warping and Prewarping
在单位圆上令
整理可得：
所以：
反过来：
这是一一映射：
没有频谱混叠，但频率轴被非线性压缩，该现象称为 frequency warping。
设计前必须做预畸变 prewarping：
若为简化计算取
最终代换使用同一个
9-4-3 双线性设计步骤 Bilinear Design Steps
低通 IIR 的双线性设计步骤：
- 将数字边缘频率
预畸变为 ； - 用
设计模拟低通原型 ； - 代入
得到
- 做幅度缩放，使通带最大增益为 1。
双线性变换能保持幅度响应的顺序关系，但不保持相位响应。需要线性相位时，通常优先考虑 FIR。
9-5 频率变换 Frequency Transformations
9-5-1 模拟低通到高通 Lowpass to Highpass
设原型低通为
低通到高通的模拟频率变换为：
因此：
在虚轴上，
低频被映射到高频，高频被映射到低频。
9-5-2 模拟低通到带通 Lowpass to Bandpass
目标带通的通带边缘为
定义：
低通到带通的变换为：
因此：
在虚轴上：
带通会把低通的一个通带映射成正负两侧的一对通带。
9-5-3 模拟低通到带阻 Lowpass to Bandstop
目标带阻的阻带边缘为
定义：
低通到带阻的变换可写成：
其中
于是：
在虚轴上：
9-5-4 两种设计流程 Two Design Procedures
非低通 IIR 通常有两种设计流程。
流程 A：先做模拟频率变换，再双线性变换
该流程便于推导和计算，也便于与模拟原型公式对应。
流程 B：先做数字低通，再做数字频率变换
其中
本科阶段的计算题更常采用流程 A。
9-6 易错点 Common Pitfalls
和 不要混用。
数字频率
- dB 指标的正负号不要写反。
这里
- Butterworth 阶数公式要有系数 2。
因为幅度平方响应里是
若遗漏该系数，阶数估计会增大约一倍。
- Chebyshev 的
只用于
低通原型里要求阻带边缘大于通带边缘。若是高通、带通、带阻，先做频率变换或边缘映射，再套低通原型公式。
- 冲激响应不变法的极点映射是
该映射不同于双线性变换中的分式映射。若
- 冲激响应不变法有混叠。
它不适合高通，也不适合模拟响应高频衰减很慢的情况。
- 双线性变换必须预畸变。
边缘频率要先变成：
再设计模拟原型。若未做预畸变而把
- 双线性变换不保持相位。
它没有 aliasing，也能保持稳定性，但相位响应会被改变。若题目要求线性相位，优先考虑 FIR。