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Ex 1 公式复习 Formula Review ​

字数 11,301｜阅读时间 23 分钟｜Ayaskt
2026/06/03 16:35:12 CST
答こたえが出でるまでとか = 未来永劫みらいえいごう。
等有了答案再说 = 永远不会有答案。

「影色舞」

MyGO!!!!!

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CAUTION

Assisted with AI generation.

知识点2022202320242025频率
极化判断Q1d, Q3cQ2cQ1d, Q3bQ3a,b,c连考四年
法向入射 / 反射透射 / 驻波比Q4Q3d, Q4dQ4Q4连考四年
平均坡印廷矢量Q3bQ2b, Q3d, Q4cQ3dQ4a每年都有
边界条件 H→JsQ1cQ1d—Q2a连考三年
长直导线+矩形线圈互感—Q2dQ2dQ2c连考三年
均匀平面波参数 (k,λ,f,ω)Q3dQ3b, Q4bQ3a, Q4aQ3d, Q4a每年
E-H 关系求磁场Q3d, Q4aQ3cQ3cQ4a每年
磁化 (M, 磁化电流)Q2—Q2cQ2a,c三年
麦克斯韦方程组——Q1a—一年
位移电流Q3a—Q1c—两年
行波/驻波/行驻波概念——Q2b—一年
自感 (同轴线)———Q2b一年

章节目录 ​

Ex 1-1 麦克斯韦方程组 Maxwell's Equations ​

时变电磁场的全部规律浓缩在四个方程里。做题时优先回忆需要的是微分形式还是积分形式。

麦克斯韦方程组 Maxwell's Equations（微分形式）

积分形式——对前两式取面积分并用 Stokes 定理，对后两式取体积分并用散度定理：

线性各向同性介质本构关系：

位移电流密度 ：不是真实电荷流动，而是时变电场对磁场的贡献。

电容器极板间的位移电流补上了传导电流的连续性

连续性方程：

无源区波动方程：

Ex 1-2 边界条件 Boundary Conditions ​

边界条件来自麦克斯韦方程组积分形式在界面上的极限。设 从介质 2 指向介质 1，界面上自由面电荷密度 ，自由面电流密度 。

一般电磁边界条件

介质分界面上的场量

理想介质界面（）：四个量全部连续。

理想导体表面（导体内部场为零， 从导体指向外部介质）：

静磁场边界条件（常用子集）：

条件公式
法向连续
切向跳变
无面电流时 切向连续

TIP

法向分量由散度方程约束（），切向分量由旋度方程约束（）。有面源时跳变，无面源时连续。

Ex 1-3 静磁场分布计算 Magnetostatic Field Distribution ​

由稳恒电流分布求 （或 ）。两条主线：毕奥-萨伐尔定律（通用）和安培环路定理（高对称性）。

磁感应强度 单位 。洛伦兹力：，其中 不做功。

本构： ，，。

毕奥-萨伐尔定律 Biot-Savart Law ​

毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定律几何关系

对面电流与体电流，将 替换为 或 。

安培环路定理 Ampere's Circuital Law ​

安培环路定理

右手四指沿积分路径正方向，拇指指向即为正电流方向。只在具有圆柱/平面/螺线管对称性时适用。

常见几何分布的直接结论 ​

电流分布备注
无限长直导线右手定则定方向
有限长直导线 为两端到场点张角
圆环轴线圆心处 ：
无限大面电流 取正， 取负

无限大面电流与安培环路

同轴电缆（内导体半径 ，外导体内 外 ，内导体 ，外导体 ）：

区域

Ex 1-4 电感与磁场能 Inductance and Magnetic Energy ​

磁通：

磁链： 。粗导体需分内外磁链 。

自感与互感

线性各向同性介质中 。

单位长度电感常用结果（真空）：

结构
同轴线
平行双线 ()
直导线与矩形线圈互感

TIP

前一项为内自感（导体内部磁链），后一项为外自感（导体间磁链）。计算时需先确认是否包含内自感。

磁场能密度：

总磁场能：

电感-能量关系：

由 反求单位长度自感是同轴电缆类题目的常用解法。

Ex 1-5 电磁感应 Electromagnetic Induction ​

法拉第电磁感应定律

负号来自楞次定律：感应电流的效果总是阻碍原磁通的变化。

定向曲面与感应电动势的正方向约定

感应电动势按来源分三类：

情况表达式典型场景
回路静止， 时变变压器
恒定，回路运动发电机
两者共同作用一般情形

Ex 1-6 时谐场与相量法 Time-Harmonic Fields and Phasors ​

时谐场中所有场量以单频 正弦变化，用相量法将时间微分转为 乘法：

瞬时表达式相量

亥姆霍兹方程（无源区）：

复介电常数 Complex Permittivity

损耗角正切判定介质类型：

介质类型条件主导机制
低损耗介质位移电流占主导
良导体传导电流占主导

Ex 1-7 均匀平面波 Uniform Plane Waves ​

均匀平面波是最简单的电磁波解——等相位面为平面且同一等相位面上场强恒定。

均匀平面波的等相位面

基本传播参数：

真空中 。理想介质中 无色散。

本征阻抗 Intrinsic Impedance

TEM 波性质： ，三者两两垂直，右手螺旋。

E、H、k 的右手关系

E-H 关系——已知一个场和传播方向即可求另一个：

任意方向传播： ，其中 。对这种平面波 。

沿 方向：，瞬时形式 。

Ex 1-8 极化 Polarization ​

极化描述空间固定点处电场矢量端点随时间的运动轨迹。判断时先统一成余弦形式，再读振幅和相位。

沿 传播的波，令 ，，：

条件极化方式
线极化 Linear
且 左旋圆极化 LHCP
且 右旋圆极化 RHCP
（不满足圆极化）左旋椭圆极化
（不满足圆极化）右旋椭圆极化

线极化

圆极化

椭圆极化

TIP

判断步骤：先将分量统一为余弦形式，读取 ，计算 ，先判定线/圆/椭圆，再判定旋向。沿 方向传播时旋向结论与上表相反。

Ex 1-9 有损媒质与趋肤效应 Lossy Media and Skin Effect ​

有损媒质中 ，波数变为复数。核心：先判断 的大小，再选近似式。

复波数与传播常数：

复本征阻抗： 。此时 与 不再同相，磁场相对电场滞后 。

理想介质中 E 与 H 同相

导电媒质中 E 与 H 不同相

一般解：

两类工程近似：

类型条件
低损耗介质
良导体

趋肤深度 Skin Depth

场强衰减到表面值 的深度：

良导体中：

趋肤深度示意

表面阻抗：

Ex 1-10 功率与能流 Power and Energy Flow ​

电磁能量密度（瞬时量，用实数场）：

峰值相量的时均能量密度：

理想介质中均匀平面波瞬时满足 ，故 ；若用峰值相量，时均总能量密度为 。

坡印廷矢量 Poynting Vector

瞬时：

时均：

坡印廷矢量方向关系

WARNING

瞬时量必须用实数场计算；求时间平均值才可直接使用复矢量，注意 因子。

理想介质中均匀平面波：

平均焦耳损耗功率密度：

Ex 1-11 法向入射与驻波 Normal Incidence and Standing Waves ​

电磁波垂直入射到平面边界（）。入射侧存在入射波 + 反射波，另一侧存在透射波。核心流程：由介质参数确定 ，代入 ，再合成总场。

法向入射、反射与透射模型

反射系数与透射系数 ​

反射系数 $\Gamma$ 与透射系数 $\tau$（法向入射）

，

理想介质界面（）： 为实数。

符号条件界面处电场
反射波与入射波同相 波腹
反射波与入射波反相 波节

介质界面行驻波振幅变化

理想导体边界（全反射） ​

。反射波与入射波等幅反相，合成纯驻波：

理想导体前的驻波分布

波腹 ，波节 （）。 与 时间相位差 ，空间错开 。平均坡印廷矢量为零。

表面电流密度：

驻波比 ​

驻波比 Standing-Wave Ratio

波形物理含义
纯行波无反射，全透射
纯驻波全反射，无能流
行驻波部分反射

由 反求 ，再结合界面处是波腹还是波节判断 符号。

能流守恒 ​

理想介质界面无损耗，两侧平均能流相等：

总结 Summary ​

问题类型第一步判断核心公式
由电流求磁场对称性如何？毕奥-萨伐尔定律 / 安培环路定理
边界条件有无面源？哪种介质？ 等
电感 / 磁能要不要内自感？，
感应电动势谁在变？ 还是回路形状？
时谐转换给定瞬时还是相量？，
波参数介质参数 ？，
极化 和 ？先判线/圆/椭圆，再判旋向
良导体 / 趋肤？
平均功率有复矢量吗？
反射 / 驻波界面两侧 ？导体还是介质？，

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