6 Static Magnetic Fields
章节目录
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- 6-1 自由空间静磁场基本公设 Fundamental Postulates of Magnetostatics in Free Space
- 6-2 磁矢位 Vector Magnetic Potential
- 6-3 毕奥-萨伐尔定律 The Biot-Savart Law
- 6-4 磁化强度与等效电流密度 Magnetization and Equivalent Current Densities
- 6-5 磁场强度与相对磁导率 Magnetic Field Intensity and Relative Permeability
- 6-6 静磁场边界条件 Boundary Conditions for Magnetostatic Fields
- \frac{1}{\mu_1}\nabla\times\vec A_1
- 6-7 电感与电感器 Inductances and Inductors
- 6-8 磁场能 Magnetic Energy
- 总结 Summary
6-1 自由空间静磁场基本公设 Fundamental Postulates of Magnetostatics in Free Space
静磁场 Magnetostatic Field 讨论的是稳恒电流产生的磁场。所谓稳恒，是指电流分布不随时间变化，因此电荷密度也不随时间变化。
6-1-1 洛伦兹力 Lorentz Force
DEFINITION
静止电荷在电场中受到电场力：
运动电荷在磁场中还会受到磁场力：
因此总电磁力为洛伦兹力 Lorentz Force：
其中
TIP
磁场力方向由叉乘
6-1-2 静磁场基本方程
在自由空间中，静磁场满足两个基本公设：
DEFINITION
自由空间静磁场基本方程 Differential Form
其中
对应积分形式为：
这两个式子对应两句话：
- 电流是静磁场的旋涡源；
- 磁感线无头无尾，总是闭合曲线。
6-1-3 安培环路定理 Ampere's Circuital Law
DEFINITION
真空中的安培环路定理 Ampere's Circuital Law in Free Space
磁感应强度沿闭合路径的环流，等于该路径所围任意曲面穿过电流代数和的
使用时要注意正方向：右手四指沿积分路径正方向弯曲，拇指指向就是正电流方向。
PROBLEM
半径为
SOLUTION
由于电流和几何结构均具有圆柱对称性，磁场方向沿
导体内部
安培环路包围的电流为
由安培环路定理：
所以
导体外部
环路包围全部电流
于是
可见，导体内部磁场随
6-2 磁矢位 Vector Magnetic Potential
6-2-1 磁矢位的定义与库仑规范
因为磁场满足
而任意矢量场旋度的散度恒为零，因此可以引入一个矢量场
DEFINITION
磁矢位 Magnetic Vector Potential 定义为：
磁矢位不唯一。若令
则
因此还需要指定一个规范条件。静磁场中常用的是库仑规范 Coulomb Gauge：
6-2-2 磁矢位的微分方程与积分解
由
可得
利用恒等式
并采用库仑规范
DEFINITION
磁矢位泊松方程 Vector Poisson Equation
在无源区域
与静电势泊松方程类比：
磁矢位在无限均匀空间中的解为：
其中
TIP
磁矢位
6-3 毕奥-萨伐尔定律 The Biot-Savart Law
6-3-1 安培力定律与磁感应强度
两个载流回路之间的相互作用力可以写为电流元之间的积分。由这个式子可以自然定义磁感应强度。
DEFINITION
毕奥-萨伐尔定律 Biot-Savart Law
对线电流：
其中
对电流元，有
对面电流和体电流分别为：
安培力定律为：
6-3-2 典型电流分布的磁场
PROBLEM
设有限长直线段电流为
SOLUTION
由毕奥-萨伐尔定律积分可得有限长直导线磁场：
若导线为无限长，则
因此
磁场方向沿绕导线的圆周切向，由右手螺旋定则确定。
PROBLEM
半径为
SOLUTION
由对称性可知，圆环上对称电流元产生的径向磁场分量相互抵消，只剩
对圆环积分可得：
特别地，在圆心处
在远场
说明圆环电流的远场按
6-3-3 用安培环路定理求磁场
安培环路定理只有在问题具有足够对称性时才适合直接求磁场。常见对称性包括：
| 电流分布 | 适合的安培环路 | 磁场方向 |
|---|---|---|
| 无限长直电流 | 同轴圆周 | |
| 无限大面电流 | 跨越电流面的矩形回路 | 平行于面、垂直于电流 |
| 同轴电缆 | 同轴圆周 |
PROBLEM
无限大电流薄片位于
求空间各处磁感应强度。
SOLUTION
由对称性，磁场只可能沿
取跨越薄片的矩形安培环路，长边长度为
环路包围的电流为
由安培环路定理：
所以
PROBLEM
同轴电缆内导体半径为
SOLUTION
由圆柱对称性，取同轴圆形安培环路：
区域一
区域二
区域三
外导体中半径
区域四
包围净电流为零，故
6-4 磁化强度与等效电流密度 Magnetization and Equivalent Current Densities
6-4-1 介质磁化与磁化矢量
介质放入外磁场后，分子或原子尺度的磁偶极矩会发生取向排列，宏观上表现为磁化。
DEFINITION
磁偶极矩 Magnetic Dipole Moment
对小电流环：
方向由电流环的右手螺旋定则确定。
DEFINITION
磁化矢量 Magnetization Vector 定义为单位体积内磁偶极矩的矢量和：
单位为
若介质未被磁化，各微观磁偶极矩取向杂乱，宏观上
若介质被外磁场磁化，磁偶极矩出现优先取向，宏观上
对于线性各向同性磁介质：
其中
6-4-2 体磁化电流与面磁化电流
磁化后的介质可以等效为某种电流分布产生附加磁场。这个等效电流分为体磁化电流和面磁化电流。
DEFINITION
体磁化电流密度 Volume Magnetization Current Density
面磁化电流密度 Surface Magnetization Current Density
其中
TIP
磁化电流来自微观环流磁矩的宏观等效，并不一定对应宏观自由电荷沿导线流动。引入
6-5 磁场强度与相对磁导率 Magnetic Field Intensity and Relative Permeability
6-5-1 磁场强度
在介质中，总磁场由自由电流和磁化电流共同产生：
代入
得
整理为：
于是定义磁场强度：
DEFINITION
磁场强度 Magnetic Field Intensity
等价地：
引入
积分形式为：
因此，
6-5-2 磁介质的分类与本构关系
对于线性各向同性磁介质：
代入
可得
定义：
于是本构关系为：
DEFINITION
磁介质本构关系 Constitutive Relation of Magnetic Medium
常见磁介质分类如下：
| 类型 | 条件 | 特点 |
|---|---|---|
| 抗磁质 Diamagnetic Material | 磁化方向与外磁场相反，效应很弱 | |
| 顺磁质 Paramagnetic Material | 磁化方向与外磁场相同，效应很弱 | |
| 铁磁质 Ferromagnetic Material | 磁化显著，通常存在非线性与磁滞 |
PROBLEM
无限长磁介质圆柱半径为
SOLUTION
由安培环路定理，任意半径
所以
磁感应强度为
磁化强度只存在于磁介质内部：
因此
6-6 静磁场边界条件 Boundary Conditions for Magnetostatic Fields
设界面法向单位矢量
6-6-1 磁感应强度的边界条件
由
取跨越界面的薄圆柱高斯面，令高度趋于零，可得：
DEFINITION
磁感应强度法向边界条件
即
这说明磁感应强度的法向分量总是连续的。物理原因是不存在磁单极子。
6-6-2 磁场强度的边界条件
由
取跨越界面的窄矩形回路，令高度趋于零，可得：
DEFINITION
磁场强度切向边界条件
其中
若界面上没有自由面电流，即
6-6-3 磁矢位的边界条件
若磁矢位在界面上没有奇异面源，通常取
又因为
所以切向磁场强度边界条件可写为：
TIP
边界条件可以按分量连续性来记：
的法向分量连续； 的切向分量在无自由面电流时连续； - 若存在自由面电流，
的切向分量发生跳变。
6-7 电感与电感器 Inductances and Inductors
6-7-1 磁通与磁链 Magnetic Flux and Flux Linkage
DEFINITION
磁通 Magnetic Flux 定义为磁感应强度通过某曲面的通量：
由 Stokes 定理和
DEFINITION
磁链 Flux Linkage 记作
单匝线圈：
对粗导体回路，磁链通常分为外磁链和内磁链：
6-7-2 自感 Self-Inductance
DEFINITION
自感 Self-Inductance 定义为回路自身电流产生的磁链与该电流之比：
若导体不可忽略粗细，则
其中
TIP
自感只与回路几何形状、尺寸和周围介质有关。在线性介质中，它不依赖电流大小；但如果介质为铁磁材料，由于
PROBLEM
求同轴线单位长度自感。内导体半径为
SOLUTION
内导体内部：
对
内磁链积分可得单位长度内自感：
两导体之间：
对
单位长度外磁链为
所以
总单位长度自感为
PROBLEM
两根半径为
SOLUTION
两线之间的外磁场可由叠加得到，外自感近似为：
每根圆导线的内自感单位长度为
因此总单位长度自感为
6-7-3 互感 Mutual Inductance
DEFINITION
设回路
称为回路
类似地：
在线性各向同性介质中，互易性成立：
6-7-4 Neumann 公式
由磁矢位：
回路
代入得：
因此
DEFINITION
Neumann 公式
PROBLEM
无限长直导线与矩形线圈位于同一平面。矩形线圈高为
SOLUTION
长直导线通电
穿过矩形线圈的磁链为
因此互感为
若线圈绕向相反，互感符号随所选参考方向改变；互感大小不变。
6-8 磁场能 Magnetic Energy
磁场可以储存能量。对线性介质，磁场能密度为：
DEFINITION
磁场能密度 Magnetic Energy Density
若介质线性各向同性，
总磁场能为：
也可以用磁矢位表示：
| 电流分布 | 磁场能表达式 |
|---|---|
| 体电流 | |
| 面电流 | |
| 线电流回路 |
对于单个电感：
对于多个线性耦合回路：
两个回路时：
PROBLEM
同轴线内导体半径为
SOLUTION
各区域磁场强度由安培环路定理得到：
单位长度磁场能为
分别积分可得：
总磁场能为
由
得到单位长度自感：
总结 Summary
本章主要讨论稳恒电流产生的静磁场。静磁场是有旋无散场；在介质中，磁化效应用等效电流或
| 内容 | 公式 | 物理图像 |
|---|---|---|
| 静磁场基本方程 | 电流是磁场旋涡源，磁感线闭合 | |
| 毕奥-萨伐尔定律 | 由电流分布直接叠加磁场 | |
| 磁矢位 | 用矢量势表示无散磁场 | |
| 磁化电流 | 磁化的宏观等效电流 | |
| 磁场强度 | 把磁化效应并入介质响应 | |
| 介质本构 | 线性磁介质中 | |
| 边界条件 | ||
| 自感 | 自身电流产生的磁链能力 | |
| 互感 | 一个回路电流在另一个回路中产生磁链 | |
| 磁场能 | 磁场可以储能 |
常用结论集中写为：