3 Static Electric Field Part II
TIP
本文覆盖第三章电势之后的小节。
章节目录
- 章节目录
- 3-6 静电场中的导体 Conductors
- 3-7 静电场中的电介质 Dielectrics
- 3-8 电通量密度（电位移矢量）与介电常数 Electric Flux Density & Dielectric Constant
- 3-9 静电场的边界条件 Boundary Conditions
- 3-10 电容与电容器 Capacitance & Capacitor
- 3-11 静电能 Electrostatic Energy
3-6 静电场中的导体 Conductors
3-6-1 导体的定义
电导体通常就简称为导体 Conductor，其被定义为：
在其中存在大量可自由移动电荷，因此能够较容易传导电流的材料。
从电磁学角度，也常写成：
在外电场作用下，内部自由电荷能够发生定向移动，从而形成传导电流的物体，称为导体。
更本质一点地说：
导体中有可以在宏观范围内自由移动的载流子。这也是导体与其他非导体最本质的区别。
这些载流子在金属中通常是自由电子。
3-6-2 导体的静电性质
1. 导体内部
假设目前导体内部引入了一些多余的正（或负）电荷，导体内部将建立电场，该电场对电荷施加力，使它们相互远离。
这种运动将一直进行，直到所有电荷达到导体表面并重新分配，使得导体内部的电荷和电场都消失掉。
即在静电平衡下的导体中：
2. 导体表面
由于电荷均分布在导体表面，在导体表面取一闭合环路，因此有：
其中
即导体表面电场线的切向分量恒为零，导体表面电场线垂直于导体表面。
给定导体表面的电荷密度
在导体表面取一个闭合曲，根据高斯定理有：
由前序计算得知表面电场线处处垂直于表面，方向与面元矢量相同，可得：
即
总结可得：
IMPORTANT
当一个导体在静电场中处于静电平衡状态时：
导体内部无电场分布；
导体表面中外部，电场线处处垂直于表面，且大小与该点电荷电荷密度成正比：
3-6-3 导体上的电势
PROBLEM 导体上的电势
球心点电荷
SOLUTION
推导过程我不想写了，挺简单的
IMPORTANT
导体内外的电场强度会发生突变 Discontinuous Jump;
静电平衡下的导体是一个等势体 Equipotential Body 。
或者说：
TIP
其实可以直观一点想： 导体内部电场线为0，而电势的公式是电场线沿路径的积分，所以在导体内部电势积分变化量必然为0.
所以，导体是一个等势体。
3-7 静电场中的电介质 Dielectrics
3-7-1 电介质的结构与极化现象 Polarization Phenomenon
1. 电磁反馈 EM Response
在电磁中，通常有以下三类反馈 Response：
- 极化 Polarization：由于电场的作用，介电材料中的束缚电荷 Bounded 产生偏转；
- 磁化 Magnetization：在外部磁场的影响下，产生宏观磁矩；
- 导电 Conduction：在外部电场的作用下，自由电子发生运动。
这用来表征三种反馈的参数分别为：
- 介电常数 / 电容率 Dielectric Constant / Permittivity
- 磁导率 Permeability
- 电导率 Conductivity
（就是电阻率的倒数，想起来了吗）
2. 电介质的定义
现在我们来讨论电介质的内部结构。
在物质中，根据极性，可以大致分成两类：
- 非极性分子 Nonpolar Molecules：这种分子的正负电荷中心重合在同一点，因此无外部电场时对外不显出极性。但是如果处于外部电场时，其正负电荷中心可能会被拉开，导致形成类似于极性分子的性质。；
- 极性分子 Polar Molecules：相反地，极性分子的正负电荷中心不重合，形成一种类似于电偶极子的结构。因此这种结构会在外部电场中发生一定的偏转，同时自身也会向外发出微小但存在的电场线。
基于这个分类，可以给出电介质的定义：
一个理想电介质，从内部构成上看，可以理解为：
它由大量被束缚在原子、分子内部的正负电荷组成，但几乎没有能够在材料内部自由移动的自由载流子。所以在静电场下，它不像导体那样让自由电荷大范围迁移，而主要表现为极化。
3. 极化现象 Polarization Phenomenon
当电介质被放置在一个外部电场
- 非极性分子：位移极化 Displacement Polarization：正负电荷的中心被拉开，形成电偶极子结构，出现了一个感应电偶极矩；
- 极性分子：取向极化 Orientation Polarization：分子受到外部电场力作用，倾向于把自己的偶极矩方向转得更接近电场方向。
3-7-2 电极化强度 Polarization Intensity
1. 定义
现在，我们将用定量的方法对电介质中极化现象进行分析。
定义电极化强度 Polarization Intensity 为单位体积内的电偶极矩矢量和:
2. 有无外加电场下的讨论
i. 无外加电场
- 非极化分子：对外不显电性，即
- 极化分子：其方向杂乱无章，总体上对外无电性，即
所以，无外加电场下，电极化强度处处为 0 .
ii. 存在外加电场
在这种情况下，显然几乎所有分子都产生了极化现象。在理想的电介质中，我们给定假设：
即所有极化分子产生的电偶极矩矢量相等。
因此电极化强度可以表示为
其中
NOTE
材料的电极化强度与外部电场强度和材料本身的属性相关。
我们设应用在外部的电场为
这里的加号并不代表对外部电场的增强，相反，在介质内部极化电场会削弱外加电场。
通常我们只讨论线性和各向同性 Isotropic 的电介质，因为在这种介质中，实际电场与电极化强度成正比例关系：
其中；
：电极化率 Susceptibility，也叫电极化常数或电极化系数 ：真空介电常数 ：介质内实际的总电场
其意义为：材料的极化强度，与材料内部实际承受的电场成正比。
3-7-3 束缚电荷分布
1. 定性分析
在一个电介质中，其电极化强度并非处处相等，在某些区域可能存在等效净电荷，通常由以下两种现象组成：
- 介质内部：若这些偶极子在空间中排列得不均匀，那么某一小块体积内偶极子的流出和流入不平衡，相当于就会在内部留下净电荷，这种电荷被称为体束缚电荷;
- 介质表面：在边界处，偶极子链会被截断，于是表面会露出没有被抵消的正负端，这种电荷被称为面束缚电荷。
2. 定量分析
我们用
i. 计算体束缚电荷密度
由于介质对外呈电中性，所以有：
对于表面元
由电极化强度的定义
而由整体电中性，
ii. 计算面束缚电荷密度
由于
所以
IMPORTANT
即，对于一个在静电场中的电介质，其体电荷密度和面电荷密度分别为
3. 极化电介质的等效电荷表示
电介质发生极化后，可以把它等效看作由两类束缚电荷共同构成：
- 等效的极化表面电荷密度
- 等效的极化体电荷密度
因此，在计算极化电介质所产生的电势时，可以不再直接从“许多微观偶极子”出发，而是改为对这些等效束缚电荷进行计算。其电势可写为
其中，
需要注意的是，极化并不会改变物体的总电荷量。极化的本质只是正负电荷在材料内部发生微小分离，因此整个极化体的总束缚电荷代数和仍然必须为零，即
再代入
和
可得
这说明表面束缚电荷与体束缚电荷虽然都可能存在，但它们的总和始终相互平衡，因此极化后的整个介质仍保持电中性。
3-8 电通量密度（电位移矢量）与介电常数 Electric Flux Density & Dielectric Constant
3-8-1 电通量密度 / 电位移矢量 Electric Flux Density / Electric Displacement Vector
在静电场的电介质中，我们设自由电荷和净束缚电荷分别为
应用高斯定理：
对等式两边处理得到：
对框内积分利用散度定理，可得
替换并移项可得：
为了便于计算，我们定义电通量密度（也叫电位移矢量）
可以得到高斯定理的另一种表示：
其中
CAUTION
电位移矢量是一个便于计算，用于描述介质中实际电场和自由电荷关系的中间量，其并没有一个明确和便于理解的实际物理含义。因此不必过于追求
其最大的数学意义是，把介质极化的复杂性打包进了一个场量中。
3-8-2 介电常数 Dielectric Constant
1. 介质分类
均匀介质 Homogeneous Media 与 非均匀介质 Inhomogeneous Media：
均匀介质是指介质参数不随空间位置变化，非均匀介质则是介质参数会随空间坐标改变；它们的区别在于材料性质是否与位置有关。各向同性介质 Isotropic Media 与 各向异性介质 Anisotropic Media：
各向同性介质是指介质在各个方向上的电磁性质都相同，各向异性介质则在不同方向上表现出不同响应；它们的区别在于材料性质是否与方向有关。时变介质 Time Varying Media 与 时不变介质 Time Invariant Media：
时变介质是指介质参数会随时间变化，时不变介质则参数不随时间变化；它们的区别在于材料性质是否与时间有关。线性介质 Linear Media 与 非线性介质 Nonlinear Media：
线性介质中，介质响应与外加场成正比，非线性介质中，介质响应与外加场不再满足简单正比关系；它们的区别在于响应是否满足线性比例关系。确定性介质 Deterministic Media 与 随机介质 Random Media：
确定性介质的参数可以用确定的函数或常数描述，随机介质的参数带有随机波动或统计特性；它们的区别在于材料参数是否可以被确定地给出。色散介质 Dispersive Media 与 非色散介质 Non Dispersive Media：
色散介质中，介质参数会随频率变化，因此不同频率的波传播特性不同；非色散介质中，介质参数与频率无关；它们的区别在于材料性质是否与频率有关。
2. 本构关系 Constitutive Relationship
i. 线性，各向同性介质
已知：
所以有：
IMPORTANT
对于公式：
其中：
为真空介电常数 Permittivity of Free Space； 为介质的相对介电常数 Relative Permittivity，是一个无量纲数； 为介质的介电常数 Dielectric Constant，且
由于符号相似，这几类常数很容易混淆。因此要注意区分下标和定义。
ii. 各向异性介质
对于各向异性介质 Anisotropic Media，
亦即
与各向同性线性介质中的
此外：
- 均匀介质 Homogeneous Media：介电常数或张量各分量与空间坐标无关；
- 各向异性：
与 之间的本构关系随外加 的方向而变； - 线性介质：介电张量与
的大小无关； 加倍则 同比加倍，叠加原理 Superposition Principle成立。
3-8-3 静电场的介质问题
经典常中的介质问题可以通过以下方程组描述：
或者
通常在解题时，我们采用如下的顺序计算：
3-9 静电场的边界条件 Boundary Conditions
3-9-1 电介质与电介质交界面
我们规定：
射入边界的电场线为
类似地，相应的电位移矢量分别为
1. 切向分析
在交界面上选定一个微小矩形闭合环路方向为顺时针，
令其宽
由静电场基本定理可得：
我们令
整理后可得：
所以，在交界面上，电场强度切向分量连续。
由于里没有应用到介质相关性质，所以这个性质对所有交界面都生效。
2. 法向分析
在交界面上取一个闭合圆柱，高
根据电位移矢量高斯定理有：
同样地，令
如果我们设交界面上的面自由电荷密度为
消去
在大多数情况下，如果没有特别说明，我们认为交界面上无自由电荷，此时
3. 总结
IMPORTANT
将切向分量和法向分量的结论整合，可以得到介质分界面上电场线的折射定律：
即，电场线切向分量连续，法向分量发生成比例的突变。
3-9-2 电介质与导体交界面
1. 切向分析
此处与电介质交界面的结论类似，但导体表面的电场线永远垂直于导体表面，即其切向分量恒为0 。
因此有：
2. 法向分析
由于导体内部无电场存在，且电场大小与面电荷密度成正比，因此有：
即：
3-10 电容与电容器 Capacitance & Capacitor
3-10-1 电容的定义
在静电平衡下，导体是等势体。如果给导体带电，总电荷为
即：
这里的比例值
3-10-2 孤立导体与多导体的电容
1. 孤立导体的电容
考虑真空中一个孤立导体，如果我们以无穷远处为零势面，给出其带电量
2. 双导体的电容
结构如图所示，此时两个导体的电容需要用两者之间的绝对电势差计算：
3. 多导体的电容
如果两电容串联，则总电容为其倒数和的倒数：
如果两电容并联，则总电容为其和：
TIP
串联和并联也是分层结构求电容的基础。
即，将一个电容视作多个电容的并联 / 串联，先求解拆分出来的子电容，最后用串并联定理求总电容。
3-10-3 电容的决定因素与求解方法
电容
仍保持不变。
因此，求解电容的关键不在于“直接求
常用的求解方法有两种：
方法一：先设电荷，再求电压
先假设单个导体带电，或两个导体分别带 ，然后根据电场分布求出导体的电位或两导体之间的电压 ，最后代入 方法二：先设电位或电压，再求电荷
先假设导体的电位，或两个导体之间的电压，然后求导体表面的电荷分布并积分得到总电荷 ，最后同样利用
所以，电容问题本质上都是围绕下面这个定义展开的：
区别只在于：有时先从电荷出发求电压，有时先从电压出发求电荷。
PROBLEM 分层法求电容
这道题中的两种介质是沿圆柱底面直径切分的，也就是说，分界面是一个经过圆柱轴线的平面，而不是沿半径方向一层一层套起来。
SOLUTION
因此：
- 电场线仍然主要沿径向分布；
- 两个介质区域两端连接的是同一对导体；
- 两个区域承受的电压相同。
所以该结构应看成两个半圆柱电容器的并联。
设两种介质的介电常数分别为
内、外导体半径分别为
先单独求其中一个半圆柱区域的电容。设该区域的介电常数为
即
所以径向电场为
该半圆柱区域两导体间的电压为
因而该半圆柱区域的电容为
对两种介质分别应用这一结果，可得
由于两部分是并联关系，所以总电容为
代入得
最终结果
3-11 静电能 Electrostatic Energy
3-11-1 静电能 Electrostatic Energy
静电场不仅能对电荷做功，也能够储存能量。若正电荷沿电场方向运动，则电场对电荷做功，说明静电场中的能量减少；反过来，若将电荷从无穷远缓慢搬运到某一带电体附近，就需要外力克服电场力做功，这部分功就转化为静电场中储存的能量。
因此，静电能的本质可以理解为：建立该电荷分布时，外力从无穷远把电荷一点点搬运到指定位置所做的总功。
设某一带电体在中间过程中已经带有电荷
于是，当总电荷由
这就是静电能最基本的定义式。
3-11-2 导体 / 电容的静电能
对于孤立导体，若其电容为
代入静电能定义式：
又因为最终电势
所以静电能还可以写成
若写成电容与电压的形式，则有
因此
所以，对导体或电容器，常用的静电能公式为
其中：
为导体或电容器极板上的电荷量； 为电压； 为电容。
这些公式彼此等价，实际使用时选最方便的形式即可。
3-11-3 多个带电体的静电能
若系统中有
这个公式的物理意义是：把所有带电体上的电荷都按相同比例从
对于两个带电体组成的系统，上式可写成
若是普通两极板电容器，带电量分别为
从而仍可化为
需要注意的是，静电能一般不满足简单叠加。虽然电场满足叠加原理，但由于能量与场强的平方有关，所以多个带电体同时存在时，总能量不等于各自单独存在时能量的简单和。多出来的部分称为相互能，而单个带电体自身对应的部分称为自能。
3-11-4 连续分布电荷的静电能
若电荷不是集中在若干离散带电体上，而是连续分布在体内、表面或曲线上，则静电能公式可以写成积分形式。
对于体电荷分布
对于面电荷分布
对于线电荷分布
其中，
因此，连续分布电荷的静电能本质上仍然可以理解为：把所有微元电荷从无穷远搬入其当前位置所需外力做功的总和，只不过离散求和变成了连续积分。
对于导体系统，若第
这实际上是离散带电体公式在导体系统中的具体形式。
3-11-5 电场能
从电场角度看，静电能并不是“附着在电荷上”，而是分布在整个存在电场的空间中。对于线性介质，由连续分布电荷的静电能公式可进一步推导出场的表达式：
其中积分区域
因此，在线性介质中，静电场的能量密度可写为
对于线性各向同性介质，有
所以能量密度可写为
总静电能则为
这表明：
- 静电场能量与场强平方成正比；
- 电场越强，单位体积内储存的能量越大；
- 能量分布在整个电场空间中，而不仅仅局限于导体表面。
3-11-6 总结
因此，静电能的几种常见表达式可以总结为下表：
| 情形 / 说明 | 公式 |
|---|---|
| 从零带电过程（ | |
| 二端电容 / 单电容等（ | |
| 连续电荷分布（ | |
| 用场量表示（线性介质下 | |
| 线性各向同性介质：能量密度 |
这些公式只是同一静电能在不同问题背景下的不同写法。实际做题时，应根据已知条件选择最方便的形式。