8 Plane Electromagnetic Waves Part I

字数 16,962｜阅读时间 34 分钟｜Ayaskt

2026/06/03 16:35:12 CST

So, get away, another way to feel what you didn't want yourself to know,

所以 那就离开吧，只为让自己不愿了解真相，

And let yourself go,

放任你自己走吧，

I Really Want to Stay at Your House

Rosa Walton / Hallie Coggins

章节目录

• 章节目录
• 8-1 无损媒质中的平面波 Plane Waves in Lossless Media
  • 8-1-1 基本问题 Basic Issues
  • 8-1-2 均匀平面波 Uniform Plane Wave
  • 8-1-3 理想介质中的场表达式
  • 8-1-4 任意传播方向的平面波
  • 8-1-5 传播参数 Propagation Parameters
  • 8-1-6 电磁波的极化 Polarization
• 8-2 有损媒质中的平面波 Plane Waves in Lossy Media
  • 8-2-1 基本形式 Basic Form
  • 8-2-2 导电媒质中的均匀平面波
  • 8-2-3 传播常数与本征阻抗
  • 8-2-4 低损耗介质 Low-Loss Dielectrics
  • 8-2-5 良导体 Good Conductor
  • 8-2-6 趋肤深度与工程含义
• 8-3 电磁功率流与坡印廷矢量 Poynting Vector
  • 8-3-1 能量流与电磁能量守恒 Energy Flow and Conservation
  • 8-3-2 坡印廷定理 Poynting Theorem
  • 8-3-3 坡印廷矢量 Poynting Vector
  • 8-3-4 平均能流密度
• 总结 Summary
  • 平面波参数列表

8-1 无损媒质中的平面波 Plane Waves in Lossless Media

8-1-1 基本问题 Basic Issues

本章从时谐电磁场 Time-Harmonic Field 出发讨论电磁波传播。

时谐场的一般实数形式可以写成：

其中：

• ：空间位置相关的振幅；
• ：时间相位；
• ：空间相位；
• ：初相位。

用复矢量表示时：

复矢量 包含了空间变化、振幅、相位的信息。在时谐场里，我们经令：

。

在无源区域，电场满足亥姆霍兹方程：

若媒质为理想介质：

于是：

若媒质有损耗：

其中 为衰减常数， 为相位常数。

---

8-1-2 均匀平面波 Uniform Plane Wave

DEFINITION

平面波 Plane Wave：任意时刻，等相位面 Equiphase Surface 为平面的电磁波。

均匀 Uniform：同一个等相位面上，电磁场的振幅和方向都保持不变。

因此，均匀平面波 Uniform Plane Wave 指等相位面为平面，并且同一等相位面上场强恒定的电磁波。

取等相位面为 平面，波沿 方向传播，场量只与 有关：

代入亥姆霍兹方程：

可得：

对每一个分量都有：

其解为：

同理：

表示沿 方向传播， 表示沿 方向传播。判断传播方向时看相位：

随着 增大， 也增大，所以是沿 传播。

即波沿空间相位滞后的方向传播。

NOTE

一维平面波 中，相位 由时间相位项 与空间相位项 组成。时间侧与空间侧参数存在对偶关系：

是"时间上的相位变化率"（rad/s）， 是"空间上的相位变化率"（rad/m）； 是"时间上的一个周期"（s）， 是"空间上的一个周期"（m）。

两侧关系结构相同：

时间侧	空间侧	含义
	（或 ）	变量
		周期
		频率
		角频率

相速度 就是把时间周期"换算"成空间周期的比例。

---

8-1-3 理想介质中的场表达式

若只考虑沿 方向传播的波：

瞬时电场为：

若某一分量为 ，则：

DEFINITION

横电磁波 Transverse Electromagnetic Wave, TEM Wave：场矢量没有传播方向上的分量。若波沿 方向传播， 和 都只在横截面内振动，满足：

下面从法拉第定律导出本征阻抗。设电场沿 方向：。由 ：

所以：

代入 ：

因此 ，电场与磁场振幅之比为 。

DEFINITION

本征阻抗 Intrinsic Impedance 也叫波阻抗，定义为平面波中电场振幅与磁场振幅之比：

真空中：

推广到任意取向：对沿 方向传播的均匀平面波，由 Maxwell 方程可得 的右手关系：

IMPORTANT

在理想介质中，均匀平面波满足：

两两垂直，并满足右手螺旋关系。电场与磁场同相，振幅相差 倍。

这组关系用于从一个场求另一个场。已知传播方向和 时，用 ；已知传播方向和 时，用 。

---

8-1-4 任意传播方向的平面波

若传播方向单位矢量为 ，则任意位置 在传播方向上的投影为：

于是沿 方向传播的均匀平面波为：

DEFINITION

波矢 Wave Vector 定义为波数与传播方向单位矢量的乘积：

则：

由于：

所以对这种平面波，形式上可以记为：

代入无源区 Maxwell 方程：

得到：

任意方向传播的均匀平面波

PROBLEM

空气中某均匀平面波的磁场强度复矢量为：

求：

1. ；
2. 与 ；
3. 常数 ；
4. 电场复矢量 。

SOLUTION

由相位项可知：

所以：

其大小为：

故：

由于均匀平面波满足：

代入：

得：

传播方向单位矢量为：

空气中 ，由

可得：

---

8-1-5 传播参数 Propagation Parameters

1. 角频率、频率与周期

DEFINITION

角频率 Angular Frequency 表示单位时间内相位变化量：

周期 Period 为同一点处相位变化 所需时间：

故：

频率为：

2. 波长与相位常数

DEFINITION

波长 Wavelength 是同一时刻，相位相差 的两个等相位面之间的距离。

由：

可得：

相位常数又称波数：

3. 相速度

DEFINITION

相速度 Phase Velocity 是等相位面移动的速度。

令：

两边微分：

所以：

在真空中：

理想介质中 与频率无关，因此理想介质无色散。

---

8-1-6 电磁波的极化 Polarization

极化描述固定空间点处电场矢量端点随时间的运动轨迹。

DEFINITION

极化 Polarization：在空间某固定点处，电场矢量 的端点随时间变化所形成的轨迹。

对沿 方向传播的均匀平面波：

其中：

极化方式由两个量决定：

• 两个正交分量的振幅 ；
• 初相差 。

1. 线极化 Linear Polarization

当：

两正交分量同相或反相，电场端点轨迹为一条直线。

因此：

此时电场方向固定，大小随时间变化。

2. 圆极化 Circular Polarization

当两个正交分量振幅相等，并且相位差为 ：

电场端点轨迹为圆：

对沿 传播的波，本课采用的约定为：

TIP

判断顺序：先确认振幅是否相等、相位差是否为 （圆极化条件），再判定旋向。跳过第一步直接判旋向容易误判。

3. 椭圆极化 Elliptical Polarization

一般情况下，两个正交线极化波合成后得到椭圆极化。

其轨迹方程为：

当相位差既不为 ，又不满足圆极化条件时，通常为椭圆极化。

对沿 方向传播的波：

4. 极化分解

任意极化的均匀平面波都可以分解为两个正交线极化波。

任意极化波也可以分解为左旋圆极化波与右旋圆极化波的叠加。

例如，线极化波可以分解为两个等幅、反旋向的圆极化波：

5. 极化判断步骤

1. 写出 两个正交分量；
2. 统一成余弦形式；
3. 读出 ；
4. 计算 ；
5. 先判断线极化、圆极化、椭圆极化，再判断左右旋。

极化方式判断

PROBLEM

判断下列平面波的极化方式：

SOLUTION

(1)：

所以：

沿 方向传播，故为：

(2)：

把正弦改成余弦：

两个分量相位相同：

故为：

(3)：

该波相位为 ，沿 方向传播。

两个分量振幅不等：

并且：

所以：

对 方向传播，旋向与 情形相反，因此为：

8-2 有损媒质中的平面波 Plane Waves in Lossy Media

NOTE

有损介质中，电磁波的传播有三种等价的数学描述，本质是同一物理规律在不同表示下的形式：

波动方程 Wave Equation（时域，直接对 ）：

无损时 ，只剩第二项 。有损只是多了一个一阶时间导数项 。

亥姆霍兹方程 Helmholtz Equation（频域/相量形式）：

用 替代实数 ，适合单频稳态问题（平面波、边界条件）。

达朗贝尔方程 d'Alembert Equation（对位函数 ，含源）：

用广义洛伦兹规范 使方程解耦。适合从源 出发求场。

三者算符结构一致（），只是作用对象不同—— 或 。

8-2-1 基本形式 Basic Form

从有损媒质的波动方程出发。对一般媒质（ 未必为零）， 满足：

对时谐场，，代入整理：

括号内正是位移电流与传导电流的合并因子。将其定义为复介电常数：

DEFINITION

复介电常数 Complex Permittivity 把位移电流与传导电流合并到同一个参数中：

代入得亥姆霍兹方程的统一形式：

其中 由复介电常数决定：

DEFINITION

复波数 Complex Wave Number 由复介电常数定义的波数，统一描述相位变化与衰减：

同时覆盖了无损和有损两种情况：

• 无损介质（）：，，波数为纯实数；
• 有损介质（）： 为复数，写成 。

实际使用中常用另一种写法。令 ：

DEFINITION

传播常数 Propagation Constant 将复波数旋转到实部为衰减、虚部为相位的坐标系：

其中 为衰减常数（Np/m）， 为相位常数（rad/m）。

对沿 方向传播的波，亥姆霍兹方程的解为：

展开即：

控制振幅衰减， 控制相位变化。无损时 ，自动退化为 8-1 中的 。

---

8-2-2 导电媒质中的均匀平面波

沿用 8-2-1 定义的 。若波沿 方向传播：

即：

对应瞬时形式可写为：

其中：

• ：衰减因子；
• ：衰减常数，单位 ；
• ：相位因子；
• ：相位常数，单位 。

导电媒质中的波在传播的同时不断衰减。

NOTE

有损介质中， 将两个物理效应分开：

：控制振幅衰减。传播 后振幅降至 。。 越大，介质损耗越强，波传得越浅。

：控制空间相位变化。与波长的关系为 ，与相速度的关系为 。 越大，波长越短，相位变得越快。

两者由同一复传播常数 决定，具体取值与 密切相关（见 8-2-4、8-2-5 的近似）。核心形式：

---

8-2-3 传播常数与本征阻抗

有损媒质中的磁场仍可由：

得到。

但此时本征阻抗为复数：

因此磁场为：

瞬时形式为：

在导电媒质中， 与 不再同相。若 ，则磁场相对电场滞后 。

传播参数由：

以及：

比较实部与虚部：

解得：

于是：

有损媒质中 与频率相关，所以相速度也与频率相关，对应为色散。

---

8-2-4 低损耗介质 Low-Loss Dielectrics

DEFINITION

低损耗介质 Low-Loss Dielectrics 满足：

利用近似：

可得：

因此：

本征阻抗近似为：

低损耗介质中的相位常数接近理想介质，主要多了一个较小的衰减。

---

8-2-5 良导体 Good Conductor

DEFINITION

良导体 Good Conductor 满足：

此时：

由于：

所以：

于是：

相速度：

波长：

本征阻抗：

良导体中 的相位为 ，所以磁场相对电场滞后 。

---

8-2-6 趋肤深度与工程含义

DEFINITION

趋肤效应 Skin Effect：频率越高，导体中的衰减常数越大，电磁波和高频电流越集中在导体表面附近。

趋肤深度 Skin Depth ：场强衰减到表面值 时对应的深度。

由定义：

所以：

对良导体：

DEFINITION

表面阻抗 Surface Impedance 表示良导体表面切向电场与表面电流密度之间的等效阻抗：

几个直接结论：

• 越高， 越小；
• 越大， 越小；
• 越大， 越小；
• 高频电流主要走表面，因此空心铜管、多股绝缘细线、表面镀银都有意义。

TIP

高频电流集中在导体表面，导线中心区域几乎不承载电流。利用趋肤效应可减少导体材料用量（空心铜管、镀银导线），但趋肤深度减小也意味着高频交流电阻增大。

海水中的电磁波衰减

PROBLEM

海水参数为：

若电磁波频率为 ，判断其在海水中的传播特性，并估算衰减到 所需距离。

SOLUTION

角频率为：

海水中：

所以可按良导体处理。

衰减常数：

代入可得：

若场强衰减到 ：

故：

高频电磁波在海水里衰减很快，因此潜艇通信必须使用极低频率。

8-3 电磁功率流与坡印廷矢量 Poynting Vector

8-3-1 能量流与电磁能量守恒 Energy Flow and Conservation

时变电磁场中，能量可以在空间中流动。描述这个流动的量为坡印廷矢量。

对一个体积 ，能量关系可以写成：

即：

DEFINITION

电磁能量密度 Electromagnetic Energy Density 由电场能量密度与磁场能量密度组成。

电场能量密度：

磁场能量密度：

总电磁能量密度：

体积 内储存的总电磁能量：

当电磁场随时间变化时，空间各点的能量密度也随时间变化，所以能量会发生流动。

---

8-3-2 坡印廷定理 Poynting Theorem

由 Maxwell 方程：

两式分别点乘 与 ：

两式相减：

使用矢量恒等式：

并且在线性媒质中：

可得坡印廷定理微分形式：

积分形式为：

右侧第一项是体内电磁能增加率，第二项是焦耳损耗功率。

左侧前面的负号来自外法线方向。 表示从闭合面向外流出的功率，因此加上负号后表示流入体积 的功率。

---

8-3-3 坡印廷矢量 Poynting Vector

DEFINITION

坡印廷矢量 Poynting Vector 定义为：

单位：

其物理意义：

• 的方向：电磁能量传播方向；
• ：垂直于能量传播方向的单位面积功率流。

它不是新的场源，而是由已有的 与 共同决定的能流密度。只有电场和磁场同时存在，并且方向不平行时，才会形成非零的电磁功率流。

对理想介质中的均匀平面波：

于是：

也可以写成：

理想介质中，电场能量密度与磁场能量密度相等：

所以：

即：

DEFINITION

能量速度 Energy Velocity 定义为能流密度与能量密度之比：

代入可得：

理想介质中，均匀平面波的能量速度等于相速度。

---

8-3-4 平均能流密度

瞬时坡印廷矢量必须使用实数形式：

即：

如果求时间平均值，则可以直接用复矢量。对周期函数：

物理量	一般形式	线性媒质中
平均坡印廷矢量		—
平均电场能量密度
平均磁场能量密度		—
平均焦耳损耗功率密度		—

WARNING

瞬时量必须用实数场计算；求时均值才可直接使用复矢量公式，注意 中的 因子。

平均功率计算

PROBLEM

自由空间中平面波电场为：

求其垂直穿过半径 圆面的平均功率。

SOLUTION

复电场为：

自由空间本征阻抗：

磁场复矢量：

平均坡印廷矢量：

即：

圆面面积：

所以平均功率：

总结 Summary

1. 无损媒质中，均匀平面波满足 TEM 特性， 两两垂直，并且 与 同相；
2. 任意方向传播时，核心表达式是 ；
3. 极化看固定点处电场矢量端点轨迹，由振幅和相位差决定；
4. 有损媒质中，，波传播时同时发生相位变化与指数衰减；
5. 良导体中 ，趋肤深度 ；
6. 电磁能量流用坡印廷矢量 描述，平均功率用 。

平面波参数列表

类别	参数	含义	常用关系 / 用法
阻抗		本征阻抗、复本征阻抗、自由空间本征阻抗	无损 ；；有损
空间		波长、波数、波矢	无损 ，；相位因子为
速度		相速度、能量速度	无损 ；有损 ；理想介质中
有损传播		复波数
有损传播		传播常数	；
有损传播		衰减常数，单位	振幅因子为 ；低损耗介质中 ；良导体中
有损传播		相位常数，单位	相位因子为 ；，；无损时
有损传播		趋肤深度	；良导体中
极化		两个正交电场分量的振幅与相位差	； 为线极化；等幅且 为圆极化
功率		坡印廷矢量、平均能流密度、平均功率	；；
能量		电场能量密度、磁场能量密度、总能量密度、总能量	，；理想平面波中