3 Static Electric Field Part I

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2026/05/12 16:26:43 CST

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TIP

本文覆盖第三章电势及电势之前的小节。

章节目录

• 章节目录
• 3-1 矢量约定和静电分布
  • 3-1-1 静电场矢量约定
  • 3-1-2 四种电荷的存在形式
• 3-2 自由空间静电场的基本公设 Fundamental Postulates
  • 3-2-1 电场强度与电通量 Electric Field Intensity & Electric Flux
  • 3-2-2 两个基本公设 Fundamental Postulates
• 3-3 库仑定律 Coulomb’s Law
  • 3-3-1 库仑定律的数学推导
  • 3-3-2 电偶极子 Electric Dipole
• 3-4 高斯定理的应用 Applications of Gauss’s Law
  • 3-4-1 均匀带电球体求解
  • 3-4-2 带电球壳求解
  • 3-4-3 无限大带电平板求解
• 3-5 电势 / 电位 Electric Potential
  • 3-5-1 电势与等势面 Electric Potential & Equipotential Surfaces
  • 3-5-2 电势的性质
  • 3-5-3 参考点与电势差 / 电压 Reference Point & Voltage
  • 3-5-4 电偶极子的电势

3-1 矢量约定和静电分布

3-1-1 静电场矢量约定

在静电场中，我们做如下矢量约定：

• 从坐标原点指向场源电荷的矢量：
• 从坐标原点指向场内一点的矢量：
• 从场源指向场内一点的矢量：
• 从场源指向场内一点的单位矢量：

使用哈密顿算子时，也需要区分微分的变量：

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3-1-2 四种电荷的存在形式

1. 体电荷及密度 Volume Charge (Density)

2. 面电荷及密度 Surface Charge (Density)

3. 线电荷及密度 Line Charge (Density)

4. 点电荷 Point Charge

其中，单位点电荷满足：

3-2 自由空间静电场的基本公设 Fundamental Postulates

3-2-1 电场强度与电通量 Electric Field Intensity & Electric Flux

1. 定义

电场强度 Electric Field Intensity 的定义为单位点电荷所受到的电场力：

因此在该点也有：

通过一个曲面的电场强度的通量被称为电通量 Electric Flux，记作 ，即：

2. 电场线及其分布

电场强度是一个矢量，其构成的矢量线被称为电场线或电力线 Electric Line 。

给定电场线的一个线微元 ，则电场线满足：

通常，电场线满足以下三种分布：

---

3-2-2 两个基本公设 Fundamental Postulates

对于静电场，我们给定如下两个公设：

1. 旋度关系 Circulation Relation

左侧为该表述的微分形式，右侧为积分形式（通过斯托克斯公式给出）。

这个假设保证了静电场无旋 Irrotational ，为一个保守场 Conservative Field ，电场力在静电场中做的功与路径无关。

2. 散度关系 Divergence Equation

其中：

• ：体电荷密度

• ：真空介电常数 Permittivity of Free Space

• 表示闭合曲面 所包围的总电荷。

左侧为该表述的微分形式，右侧为积分形式（通过散度定理给出），也叫做高斯定理 Gauss's Law。

NOTE

说明电荷是电场散度的源。

• 正电荷是电场线的源头
• 负电荷是电场线的终点

在无电荷区 中，才有

此时电场才是无散场。

3-3 库仑定律 Coulomb’s Law

3-3-1 库仑定律的数学推导

设点电荷 位于源点 ，场点为 。定义从源点指向场点的位移矢量

由球对称性可知，电场只能沿径向分布，故有

取以源点 为球心、半径为 的闭合球面 ，由高斯定律

在该球面上， 的大小处处相同，且方向与外法向一致，因此

于是

所以

从而得到点电荷在任意位置时的电场一般形式

若在场点 处放置另一点电荷 ，则其受力为

因此库仑定律的矢量形式为

特别地，当源点在原点，即 时，

NOTE

由叠加原理，若电荷连续分布，则将离散求和推广为积分：

若为面电荷分布和线电荷分布，则分别为

---

3-3-2 电偶极子 Electric Dipole

设电偶极子由两个点电荷组成： 与 ，二者间的位移矢量记为 ，其方向规定为 从负电荷指向正电荷。于是电偶极矩定义为

设场点位置矢量为 ，从正电荷与负电荷分别指向场点的矢量记为 与 ，其模分别为 和 。由叠加原理，电偶极子在场点处产生的电场精确写为

对应的电势为

当观察点距离远大于偶极子尺寸时，即

可采用远场近似。设 为 与偶极矩方向 的夹角，则有

从而

代入电势式，得远场电势

其中 。

再由

并利用球坐标系中的梯度公式

且此处 与 无关，所以 。于是

因此电偶极子的远场电场为

也可写成

由此可见，电偶极子远场电势按 衰减，而电场按 衰减；同时电场不仅与距离 有关，也与极角 有关。这里的 是 极角，不是方位角。

3-4 高斯定理的应用 Applications of Gauss’s Law

3-4-1 均匀带电球体求解

均匀带电实心球半径为 ，体电荷密度为 。由于电荷分布具有球对称性，电场必沿径向分布，因此可设

其中 ， 为径向单位向量。

取半径为 的同心球面作为高斯面，由高斯定律

又因为在高斯面上电场大小恒定、方向与外法向一致，所以

当 时，高斯面包围整个带电球，故

当 时，高斯面只包围半径为 的部分电荷，故

因此，均匀带电实心球的电场为

可见，球内电场随 线性增大，球外电场按 衰减，并且在 处连续。

---

3-4-2 带电球壳求解

1. 无厚度球壳

设球心在原点，场点位置矢量为 ，其中 。由球对称性可知，电场只能沿径向分布，因此可设

取半径为 的同心球面作为高斯面，则有

对于理想均匀带电球面（半径为 ，总电荷为 ），当 时高斯面内不包围电荷，故 ；当 时包围全部电荷，故 。因此

这里在 处电场法向分量发生跃变，这是因为“球面带电”本质上是面电荷模型。若表面电荷密度为 ，则边界条件应写为

2. 有厚度球壳

若考虑更真实的均匀带电球壳，其体电荷密度为 ，分布在 ，则包围电荷应按体积计算： 时 ； 时 ； 时 。 代入高斯定律得

因此，理想球面模型会导致表面处电场不连续，而有限厚度的体电荷模型给出的电场在边界处是连续的，更适合描述实际情形。

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3-4-3 无限大带电平板求解

设无限大平面电荷面在真空中均匀带电，面电荷密度为 。由对称性可知，电场必与平面垂直，且在平面两侧距平面相同的位置处电场大小相同，因此可设电场写为沿法向的形式。

取一个穿过该平面的薄圆柱作为高斯面，两端底面积均为 ，圆柱侧面与电场平行，因此侧面通量为零；两个底面上的电场均与外法向同向，于是总通量为

高斯面所包围的电荷为

代入高斯定律

因此，若取 为该平面的单位法向量，则电场可写为

当 时，电场从平面向两侧发散；当 时，电场指向平面。可见无限大均匀带电平面产生的电场大小与距离无关，并且法向分量在穿过带电面时满足跃变关系

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3-5 电势 / 电位 Electric Potential

3-5-1 电势与等势面 Electric Potential & Equipotential Surfaces

1. 推导与定义

我们已知静电场中午如下两个等式：

这也就是说，我们可以将电场强度这个矢量表示为一个标量场的梯度，从而将矢量计算变换为更简单的标量计算。

根据这样的思想，我们通过如下关系定义电势 Electric Potential：

有些时候，也将 称作电位。这两者本质是同一个东西。

TIP

由于梯度的定义，可以得到电场强度指向的方向即是电势下降最快的方向。

2. 物理意义

该点电势 的物理意义是电场力将单位电荷从该点移动到无穷远所做的功 ，因此有

其中 为电荷的总带电量。

3. 等势面 Equipotential Surfaces

电势场作为一个标量场，其等势面即为所有相等的电势所共同构成的一个面，方程为：

等势面有以下两条性质：

• 电场线处处垂直于等势面；
• 等势面的分布密度可以指示电场的强度。

---

3-5-2 电势的性质

1. 电场强度与电势的关系

静电场中，电场强度 与电势 满足关系

因此，已知电场时，可以通过线积分求两点间的电势差：

反过来，若已知电势分布，则电场可由电势的负梯度得到：

这说明电场方向总是指向电势降低最快的方向。

2. 介质中的电势

在均匀介质中，静电场还满足高斯定律的微分形式

将

代入上式，可得

这就是泊松方程，适用于有电荷分布的区域。

如果区域内没有电荷，即

则泊松方程退化为

这就是拉普拉斯方程，适用于无电荷区域。

因此，静电场问题常常先由电荷分布求电势，再由电势求电场，即

对于分区域介质，应在每个区域内分别写出对应的电势函数和方程：有电荷区满足泊松方程，无电荷区满足拉普拉斯方程，然后再结合边界条件求解整个空间中的电势与电场。

3. 不同场源的电势

场源类型	电荷微元	电势表达式	说明
点电荷			其中 ， 为点电荷位置
体电荷			对整个带电体体积积分
面电荷			对整个带电面积分
线电荷			对整个带电曲线积分

---

3-5-3 参考点与电势差 / 电压 Reference Point & Voltage

一个点的电势不是唯一的，可能会有一个常数的差值。

因此，确定一个点的电势总是需要依据一个参考点 Reference Point。

而两点间电势的差值被定义为电势差 Potential Difference，也叫做电压 Voltage；

电势差与参考点无关，一旦场确定，两点间的电势差也能被唯一确定。

通常根据以下几点原则来设定参考点：

• 使得电势表达式有意义
• 使得电势表达式及计算最简单
• 一个问题里只能选择一个参考点

---

3-5-4 电偶极子的电势

设电偶极子由两个点电荷 和 组成，二者间距为 ，偶极矩定义为

其中 的方向规定为 从负电荷指向正电荷。取偶极子中心为原点，并令 沿 轴方向。对场点 ，其电势可由两个点电荷叠加得到：

其中

当观察点远离偶极子，即

时，可作近似

于是远场电势为

再由

并利用球坐标系梯度公式，可得电偶极子的远场电场

即

由等势面方程 ，可得

这就是电偶极子等势线在极坐标下的表达式。

电场线满足方向关系

代入 与 后得

积分可得

这就是电偶极子电场线的方程。

由以上结果可见，电偶极子的远场电势按 衰减，电场按 衰减；同时电场和电势都与角度 有关，这与点电荷场明显不同。