Review of Signals and Systems
章节目录
- 2-1 通信中的信号 Signals in Communication
- 2-2 信号分类 Signal Classification
- 2-3 复数表示 Complex Representation
- 2-4 基本信号 Fundamental Signals
- 2-5 信号能量与功率 Signal Energy and Power
- 2-6 复习重点 Review Checklist
2-1 通信中的信号 Signals in Communication
2-1-1 信号的定义 Definition of Signal
信号 Signal
信号 Signal 是携带或编码信息的波形，可以是电压、电流、电磁场，也可以是声压、光强或其他随时间变化的物理量。
在通信系统中，信息源产生消息，消息被转换为适合传输的电波形。这个电波形就是课程里分析的主要对象。
信号常写成时间函数：
变量
2-1-2 时域和频域 Time Domain and Frequency Domain
时域 Time Domain
时域 Time Domain 用时间作为横轴，描述信号随时间的变化。
频域 Frequency Domain
频域 Frequency Domain 用频率作为横轴，描述信号由哪些频率分量组成，以及每个频率分量的幅度和相位。
同一个信号可以有两种描述：
其中
2-2 信号分类 Signal Classification
2-2-1 确定信号和随机信号 Deterministic and Random Signals
确定信号 Deterministic Signal
确定信号 Deterministic Signal 可以用明确的数学表达式或确定规则描述。给定时间
随机信号 Random Signal
随机信号 Random Signal 也称 随机过程 Stochastic Signal / Random Process，它的具体取值不能提前完全确定，只能用概率模型描述。
课程前半部分主要处理确定信号。噪声通常需要随机模型，但在 Part 1 中只需要知道噪声会降低接收信号质量，后续再具体分析。
2-2-2 模拟数字和连续离散 Analog Digital Continuous Discrete
模拟信号 Analog Signal
模拟信号 Analog Signal 的某个连续参数表示物理量，幅度可以在指定范围内连续取值。
数字信号 Digital Signal
数字信号 Digital Signal 表示一串数字、符号或状态，其取值通常限制在有限集合中。
连续时间信号 Continuous-Time Signal
连续时间信号 Continuous-Time Signal 的自变量在连续时间轴上取值，常写为
离散时间信号 Discrete-Time Signal
离散时间信号 Discrete-Time Signal 的自变量只在离散时刻取值，常写为
这两组分类互相独立：
| 分类角度 | 关注点 | 例子 |
|---|---|---|
| 模拟 / 数字 | 幅度或状态怎样表示信息 | 连续幅度电压、二进制电平 |
| 连续时间 / 离散时间 | 自变量 | 模拟电路波形、采样序列 |
因此可以有连续时间数字信号，也可以有离散时间模拟信号。看图时要同时判断横轴和纵轴。
2-2-3 周期信号 Periodic Signals
周期信号 Periodic Signal
周期信号 Periodic Signal 满足存在正实数
满足条件的最小正周期称为 基波周期 Fundamental Period，记为
若不存在这样的
2-2-4 信息与非周期性 Information and Aperiodicity
完全周期的比特序列，例如
这点和频谱也有关。周期信号对应离散谱线；非周期信号通常对应连续频谱。通信信号要承载消息，必须允许波形随消息内容发生变化。
2-3 复数表示 Complex Representation
2-3-1 复平面 Complex Plane
复数 Complex Number
复数 Complex Number 写作：
其中
复数可以看作二维向量。通信中用复数描述幅度和相位，尤其适合表示正弦波、相位旋转、滤波器频率响应和 IQ 信号。
2-3-2 极坐标和 Euler 公式 Polar Form and Euler Formula
复数也可以写成极坐标形式：
若只写成
反过来：
因此：
Euler 公式 Euler Formula
Euler 公式 Euler Formula 将复指数和三角函数连接起来：
于是复数可以写成：
用复指数处理三角恒等式会更省力。由：
代入 Euler 公式：
取实部：
取虚部：
2-3-3 共轭和实虚部 Conjugate Real and Imaginary Parts
复共轭 Complex Conjugate
若
复共轭对应复平面中关于实轴的镜像。实部和虚部可以由
特别地，令
这些关系在 Fourier 分析和 IQ 调制中会反复使用。
2-4 基本信号 Fundamental Signals
2-4-1 正弦信号 Sinusoidal Signal
正弦信号 Sinusoidal Signal
正弦信号 Sinusoidal Signal 是形如：
的周期信号。
其中：
：幅度 Amplitude； ：频率 Frequency，单位 ； ：相位 Phase，单位 。
角频率写作：
因此也常写成：
2-4-2 指数信号 Exponential Signal
复指数信号 Complex Exponential Signal
复指数信号 Complex Exponential Signal 写作：
其中
若
| 条件 | 行为 |
|---|---|
| 随时间指数增长 | |
| 常数信号 | |
| 随时间指数衰减 |
若
令
由 Euler 公式：
其实部和虚部都是正弦信号，相差一个相位。
更一般地，令：
则：
此时
2-4-3 冲激信号 Impulse Signal
单位冲激 Unit Impulse
单位冲激 Unit Impulse 又称 Dirac delta function，记为
冲激属于广义函数，普通函数的点值描述不适用。图像上常用一根箭头表示，箭头旁的数值表示冲激面积。
单位冲激可以看成矩形脉冲的极限。
定义：
对任意
当
冲激的两个关键性质：
第一个是 等效性质 Equivalence Property，第二个是 抽样性质 Sampling Property。后者说明冲激可以从连续函数中“取出”某个时刻的值。
在 LTI 系统中，输入为
2-4-4 阶跃信号 Unit Step Signal
单位阶跃 Unit Step
单位阶跃 Unit Step 记为
若希望某个信号从
表示
2-4-5 sinc 信号 Sinc Signal
sinc 信号 Sinc Signal
本讲采用的 sinc 信号 Sinc Signal 定义为：
在
sinc 信号由正弦振荡和
2-5 信号能量与功率 Signal Energy and Power
2-5-1 能量信号 Energy Signal
信号能量 Signal Energy
连续时间信号
如果
当：
时，
对有限能量信号，远离主要时间范围的尾部能量必须趋于
2-5-2 功率信号 Power Signal
平均功率 Average Power
信号
若
其中
当：
时，
能量信号和功率信号的常见关系：
| 类型 | 能量 | 平均功率 |
|---|---|---|
| 能量信号 | 有限正数 | |
| 功率信号 | 有限正数 |
2-5-3 分贝单位 Decibel Units
若电压信号
通信课程中常将
分贝 Decibel
分贝 Decibel, dB 是对数形式的相对功率单位。若功率为
常见参考：
若
分贝适合通信系统，因为很多感知和工程指标都以比例变化为主，例如 SNR、路径损耗和放大器增益。
2-6 复习重点 Review Checklist
2-6-1 本讲公式 Formula List
| 内容 | 公式 |
|---|---|
| 周期条件 | |
| 基波频率 | |
| 基波角频率 | |
| Euler 公式 | |
| 复共轭 | |
| 正弦信号 | |
| 复指数 | |
| 单位冲激面积 | |
| 冲激抽样 | |
| 单位阶跃 | |
| sinc | |
| 信号能量 | |
| 平均功率 |
2-6-2 判断顺序 Decision Flow
判断一个信号时可以按以下顺序：
- 看自变量：连续时间
或离散时间 ； - 看取值集合：模拟幅度或数字状态；
- 看可预测性：确定信号或随机信号；
- 看重复性：周期或非周期；
- 看总能量和平均功率：能量信号或功率信号；
- 若要分析系统作用，准备使用冲激响应和 Fourier 变换。
本讲最重要的结论是：复指数、冲激、阶跃、sinc、能量和功率是后续 LTI 系统与 Fourier 分析的基础件。