CPS Lecture 19 Noise in Digital Modulation

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2026/06/17 19:13:33 CST

章节目录

• 19-1 BER、SNR 与 AWGN BER, SNR and AWGN
  • 19-1-1 比特误码率 Bit Error Rate
  • 19-1-2 数字通信中的 SNR Signal-to-Noise Ratio
  • 19-1-3 AWGN 信道 Additive White Gaussian Noise Channel
• 19-2 噪声中的单脉冲检测 Detection of a Single Pulse in Noise
  • 19-2-1 接收信号模型 Received Signal Model
  • 19-2-2 判决统计量 Decision Statistic
  • 19-2-3 输出噪声统计 Output Noise Statistics
• 19-3 匹配滤波与相关接收 Matched Filtering and Correlation Receiving
  • 19-3-1 输出 SNR 最大化 Maximizing Output SNR
  • 19-3-2 匹配滤波器 Matched Filter
  • 19-3-3 相关接收机 Correlation Receiver
• 19-4 BPSK 最优检测 Optimum Detection of BPSK
  • 19-4-1 BPSK 发送信号 BPSK Transmitted Signal
  • 19-4-2 相干检测 Coherent Detection
  • 19-4-3 乘积解调与低通滤波 Product Detection and Low-pass Filtering
  • 19-4-4 判决规则与 BER Decision Rule and BER

19-1 BER、SNR 与 AWGN BER, SNR and AWGN

19-1-1 比特误码率 Bit Error Rate

比特误码率 Bit Error Rate, BER

比特误码率 Bit Error Rate, BER 是数字通信系统中错误比特数占总传输比特数的长期平均比例。

若总共传输 个比特，其中 个判错，则：

BER 是评价数字链路质量的直接指标。应用不同，容许 BER 也不同：

应用	典型 BER 要求
语音编码 Vocoded Speech
无线数据 Wireless Data
视频传输 Video Transmission
金融数据 Financial Data	或更低

分组错误率 Packet Error Rate, PER

分组错误率 Packet Error Rate, PER 是数据包出错概率。若比特错误相互独立，PER 可由 BER 和包长近似推得。

若每个包有 个比特，且比特错误独立，则包正确概率近似为 ，因此：

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19-1-2 数字通信中的 SNR Signal-to-Noise Ratio

信噪比 Signal-to-Noise Ratio, SNR

信噪比 Signal-to-Noise Ratio, SNR 描述信号强度与噪声强度的相对大小。在数字调制中，常用每比特能量与噪声功率谱密度之比作为性能横轴。

数字通信中的常用参考比值为：

其中：

• ：每比特能量 Energy per Bit；
• ：单边噪声功率谱密度 One-sided Noise Spectral Density。

是能量与噪声谱密度之比，不是某个接收点上的普通功率 SNR；但它适合比较不同调制方式，因为它把比特能量与信道噪声分开，使 BER 曲线可以画成同一横轴。

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19-1-3 AWGN 信道 Additive White Gaussian Noise Channel

加性白高斯噪声 Additive White Gaussian Noise, AWGN

加性白高斯噪声 Additive White Gaussian Noise, AWGN 是加到信号上的零均值高斯噪声，其功率谱密度在频率上近似为常数。

AWGN 信道模型为：

其中 满足：

且自相关函数为：

白噪声表示不同时间样本不相关；高斯噪声表示任意线性滤波后的噪声仍为高斯随机变量。

19-2 噪声中的单脉冲检测 Detection of a Single Pulse in Noise

19-2-1 接收信号模型 Received Signal Model

单脉冲传输中，接收信号有两种假设：

接收机需要根据 判断脉冲是否存在。结构上通常包括线性滤波器、采样保持 Sample and Hold，以及阈值比较 Threshold Comparison。

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19-2-2 判决统计量 Decision Statistic

判决统计量 Decision Statistic

判决统计量 Decision Statistic 是接收机从连续时间接收波形中提取出的随机变量，用于后续阈值判决。

令线性滤波器为 ，采样时刻为 。判决统计量定义为：

代入 ：

定义：

于是：

设计接收滤波器的目标是让输出 SNR 最大。

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19-2-3 输出噪声统计 Output Noise Statistics

噪声项为：

由于 AWGN 零均值：

方差为：

代入白噪声自相关：

得到：

若滤波器归一化满足：

则：

线性接收机输出噪声仍为高斯随机变量：

统计量	结果
均值
方差	$\dfrac{N_0}{2}\int_0^T\left
分布	Gaussian

19-3 匹配滤波与相关接收 Matched Filtering and Correlation Receiving

19-3-1 输出 SNR 最大化 Maximizing Output SNR

输出信号分量为：

输出噪声功率为：

因此输出 SNR 为：

由 Schwarz 不等式：

取等号条件为：

等价地：

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19-3-2 匹配滤波器 Matched Filter

匹配滤波器 Matched Filter

匹配滤波器 Matched Filter 是冲激响应与发送信号时间反转形状成比例的滤波器。它能在 AWGN 信道下最大化采样时刻输出 SNR。

匹配滤波器满足：

若发送信号能量为：

则最大输出 SNR 为：

比例常数 不影响 SNR，因为它同时放大信号和噪声。

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19-3-3 相关接收机 Correlation Receiver

匹配滤波输出为：

代入 ：

相关接收机 Correlation Receiver

相关接收机 Correlation Receiver 通过计算接收信号与候选发送信号的内积或互相关来完成检测。

若接收脉冲定时未知，可以计算不同延迟下的相关输出：

最大相关值对应最可能的时间对齐位置。

19-4 BPSK 最优检测 Optimum Detection of BPSK

19-4-1 BPSK 发送信号 BPSK Transmitted Signal

二进制相移键控 Binary Phase Shift Keying, BPSK 使用相差 的两个相位表示二进制符号：

由于：

可写成统一形式：

其中：

多比特基带波形可写为：

其中 ， 为矩形脉冲成形函数。

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19-4-2 相干检测 Coherent Detection

相干检测 Coherent Detection

相干检测 Coherent Detection 要求接收机具有与发送端载波同频同相的参考信号。

BPSK 和 DSB-SC 调制形式接近，常用相干接收机检测。接收机本振 Local Oscillator 必须和发送载波保持频率与相位同步。

带通噪声可分解为同相和正交分量：

其中：

• ：同相噪声 In-phase Noise；
• ：正交噪声 Quadrature Noise。

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19-4-3 乘积解调与低通滤波 Product Detection and Low-pass Filtering

接收信号乘以本地载波：

代入并使用三角恒等式：

得到：

低通滤波器保留基带项：

高频项位于 附近，被低通滤波器去除。对于匹配滤波接收机，低通和匹配滤波常合并实现。

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19-4-4 判决规则与 BER Decision Rule and BER

用归一化基函数：

BPSK 两个符号在一维信号空间中的坐标为：

相关接收输出：

在 AWGN 下：

其中：

等概先验下，最优判决门限为 ：

NOTE

旧 CPS 笔记到相干接收结构为止，没有展开 BER 闭式结果。复习 AWGN 下 BPSK 时通常直接使用下面这个标准结论。

定义 Q 函数：

BPSK 在 AWGN 信道下的最优比特错误率为：

该式直接连接 Lecture 19 的三个核心量：BER、 和最优检测。