CPS Lecture 16-17 Analogue to Digital Conversion
章节目录
- 16-17-1 模拟到数字转换 Analogue-to-Digital Conversion
- 16-17-2 采样 Sampling
- 16-17-3 量化与编码 Quantization and Encoding
- 16-17-4 波形编码 Waveform Coding
16-17-1 模拟到数字转换 Analogue-to-Digital Conversion
16-17-1-1 数字通信为什么需要 ADC Why ADC Is Needed
模拟信号 Analogue Signal
模拟信号 Analogue Signal 的时间和幅度通常都是连续的。温度、声音、电压等物理量经过传感器后，常先表现为模拟波形。
数字信号 Digital Signal
数字信号 Digital Signal 用有限个符号表示信息，最常见的是二进制符号
数字通信系统希望传输的是可编码的比特流。实际源信号若来自语音、图像或传感器，通常先要经过模拟到数字转换 Analogue-to-Digital Conversion, ADC。
数字信号的优势主要在三个位置体现：
- 再生中继器 Regenerative Repeater 可以重新判决并生成脉冲；
- 编码与纠错 Coding and Error Control 可以降低误码率；
- 存储、加密和微处理器实现更方便。
16-17-1-2 ADC 的三步 Three Stages of ADC
ADC 把模拟波形变成比特序列，核心步骤是：
| 步骤 | 输入 | 输出 | 作用 |
|---|---|---|---|
| 采样 Sampling | 连续时间、连续幅度 | 离散时间、连续幅度 | 固定时间间隔取样 |
| 量化 Quantization | 离散时间、连续幅度 | 离散时间、离散幅度 | 把样本幅度映射到有限等级 |
| 编码 Encoding | 量化等级 | 比特序列 | 给每个量化等级分配码字 |
采样 Sampling
采样 Sampling 是在离散时刻读取连续时间信号的幅度，得到样本序列
量化 Quantization
量化 Quantization 是把连续幅度映射到有限个离散幅度等级的过程。
编码 Encoding
编码 Encoding 是把量化后的幅度等级映射成二进制码字的过程。
ADC 的结构顺序不能随意交换。采样解决时间轴，量化解决幅度轴，编码解决符号表示。
16-17-2 采样 Sampling
16-17-2-1 瞬时采样 Instantaneous Sampling
设连续时间信号为
瞬时采样 Instantaneous Sampling 用周期冲激序列抽取信号值：
其中：
：理想采样信号； ：第 个采样值；
也可写成连续信号与冲激列相乘：
该写法后续用于分析频域复制。
16-17-2-2 采样定理 Sampling Theorem
带限信号 Band-limited Signal
带限信号 Band-limited Signal 的频谱只在有限频率范围内非零。若带宽为
Nyquist 采样定理 Nyquist Sampling Theorem
若信号
则原始信号可由采样值完全重建。
对应的最大采样间隔为：
最低无混叠采样频率称为Nyquist 速率 Nyquist Rate：
在临界采样
一般写法为：
NOTE
旧 CPS 笔记把采样定理的频域推导单独写了出来。这里保留这段推导，因为它直接解释了为什么低于
对采样信号做傅里叶变换：
冲激列的傅里叶变换为：
因此：
采样会在频域中以
16-17-2-3 混叠 Aliasing
混叠 Aliasing
混叠 Aliasing 是采样频率过低时，高频分量在采样后表现为较低频率分量的现象。其根源是采样后频谱副本互相重叠。
当
工程上处理混叠通常靠两步：
- 在采样前加入抗混叠低通滤波器 Anti-aliasing Low-pass Filter；
- 实际采样频率取高于 Nyquist 速率，给重建滤波器留出过渡带。
需要注意，抗混叠滤波器放在 ADC 前面。信号一旦被低采样率采坏，后续数字滤波无法分离已经重叠的频谱。
16-17-2-4 保护带 Guard Band
保护带 Guard Band
保护带 Guard Band 是采样频谱中相邻副本之间预留的频率间隔，用来容纳实际滤波器的过渡带。
若原信号带宽为
临界采样时
PROBLEM L16-E1
带限信号的带宽为
SOLUTION
由保护带公式：
代入
因此应使用：
16-17-3 量化与编码 Quantization and Encoding
16-17-3-1 标量量化 Scalar Quantization
标量量化 Scalar Quantization
标量量化 Scalar Quantization 是对每个样本单独量化，把一个实数样本映射到有限个代表值之一。
向量量化 Vector Quantization
向量量化 Vector Quantization 是把多个样本组成向量，在多维空间中进行量化。它利用样本之间的相关性，但实现复杂度更高。
设量化区间为
量化误差定义为：
平方误差失真为：
若输入
16-17-3-2 量化噪声 Quantization Noise
量化噪声 Quantization Noise
量化噪声 Quantization Noise 是量化误差
信号量化噪声比 Signal-to-Quantization Noise Ratio, SQNR
信号量化噪声比 Signal-to-Quantization Noise Ratio, SQNR 是信号功率与量化噪声功率之比：
对随机变量形式：
对连续时间随机信号，信号平均功率为：
量化噪声功率为：
对于均匀量化器，若量化步长为
则误差概率密度为：
对应量化噪声功率为：
NOTE
满幅正弦输入和均匀 PCM 的常用近似结论为
16-17-3-3 编码 Encoding
自然二进制编码 Natural Binary Coding, NBC
自然二进制编码 Natural Binary Coding, NBC 按量化等级顺序直接分配普通二进制码字。
格雷编码 Gray Coding
格雷编码 Gray Coding 使相邻等级的码字只相差一位，用来降低相邻等级判错时造成的比特错误数。
若总共有：
个量化等级，则每个样本需要
量化等级越多，量化误差越小，但比特率也越高。ADC 设计本质上是在失真、带宽、存储和功耗之间取平衡。
16-17-4 波形编码 Waveform Coding
16-17-4-1 脉冲编码调制 PCM
波形编码 Waveform Coding
波形编码 Waveform Coding 的目标是在接收端尽量重建源信号波形，而不是利用某一类源的语义结构。
脉冲编码调制 Pulse Code Modulation, PCM
脉冲编码调制 Pulse Code Modulation, PCM 通过采样、量化和编码，把连续消息信号表示成编码脉冲序列。
PCM 的常见假设为：
- 消息信号带限于
； - 采样频率满足
- 信号幅度有限，满足
- 量化等级数为
均匀 PCM 中，输入幅度范围为：
量化步长为：
于是量化误差满足：
16-17-4-2 差分脉冲编码调制 DPCM
差分脉冲编码调制 Differential Pulse Code Modulation, DPCM
差分脉冲编码调制 Differential Pulse Code Modulation, DPCM 不直接量化样本本身，而是量化当前样本与预测值之间的差值。
带限平滑信号的相邻样本通常高度相关。若预测器能给出较准确的
的动态范围会小于原始样本
量化后的差值为：
重建样本为：
DPCM 的优点是相同失真下可能需要更低比特率。代价是发送端和接收端都要维持一致的预测器状态。
16-17-4-3 增量调制 Delta Modulation
增量调制 Delta Modulation, DM
增量调制 Delta Modulation, DM 是 DPCM 的简化形式。它只使用一位量化器，每次只发送上升或下降一个固定步长的信息。
Delta modulation 的量化输出通常只有两种：
每个样本只用
因此 DM 通常需要远高于 Nyquist 速率的采样频率。高采样率让相邻样本变化变小，从而使一步一步跟踪波形成为可能。
NOTE
复习时把 DM 的两个失真记住即可：步长太小会出现 slope overload，波形陡变时跟不上；步长太大会出现 granular noise，平坦区域来回抖动。