CPS Lecture 15 Practice Problems

字数 5,767｜阅读时间 12 分钟｜Ayaskt

2026/06/17 19:13:33 CST

章节目录

• 15-1 复习公式 Formula Review
  • 15-1-1 角度调制通式 General Angle-Modulated Signal
  • 15-1-2 FM 与 PM 的反推 Reverse Engineering FM and PM
• 15-2 Q1 已知相位项反推消息 Recovering Message from Phase Term
  • 15-2-1 题目 Problem
  • 15-2-2 解法 Solution
• 15-3 Q2 多音角度调制 Multitone Angle Modulation
  • 15-3-1 题目 Problem
  • 15-3-2 解法 Solution
• 15-4 Q3 Armstrong 间接 FM 设计 Armstrong Indirect FM Design
  • 15-4-1 题目 Problem
  • 15-4-2 解法 Solution
• 15-5 Q4 FM 与 PM 带宽敏感性 Bandwidth Sensitivity of FM and PM
  • 15-5-1 题目 Problem
  • 15-5-2 解法 Solution
• 15-6 Q5 单音角度调制带宽 Single-Tone Angle-Modulation Bandwidth
  • 15-6-1 题目 Problem
  • 15-6-2 解法 Solution

15-1 复习公式 Formula Review

15-1-1 角度调制通式 General Angle-Modulated Signal

角度调制信号写成

其中 是消息信号引起的附加相位。瞬时频率为

若负载归一化为 ，平均功率为

---

15-1-2 FM 与 PM 的反推 Reverse Engineering FM and PM

FM 与 PM 的相位项关系如下：

因此已知相位项 时：

Carson 法则：

对单音消息，。

15-2 Q1 已知相位项反推消息 Recovering Message from Phase Term

15-2-1 题目 Problem

PROBLEM Q1

考虑已调信号

1. 若 是 FM 输出，且 ，求输入消息信号；
2. 若 是 PM 输出，且 ，求输入消息信号；
3. 画出可实现 FM 解调的 PLL 框图，并说明各模块作用。

---

15-2-2 解法 Solution

SOLUTION

记附加相位为

若该信号来自 FM：

因此

题中 ，所以

若采用归一化定义

则

在 处按极限取值，结果为 。

若该信号来自 PM：

题中 ，因此

PLL 解调框图如下。鉴相器比较输入 FM 信号与 VCO 输出的相位；环路滤波器滤除高频项并输出控制电压；VCO 根据控制电压调整频率。锁定后，控制电压跟随输入瞬时频率变化，因此可作为 FM 解调输出。

CAUTION

有归一化和非归一化两种约定。若课程另行指定 ，保留 的导数形式，再按指定定义展开。

15-3 Q2 多音角度调制 Multitone Angle Modulation

15-3-1 题目 Problem

PROBLEM Q2

角度调制信号的载波角频率为

信号为

求：

1. 已调信号功率；
2. 频率偏移；
3. 偏移比；
4. 相位偏移；
5. FM 带宽估计。

---

15-3-2 解法 Solution

SOLUTION

信号幅度为 。归一化负载下平均功率为

附加相位为

瞬时角频率偏移为

最大角频偏按峰值相加估计：

换算成 Hz：

两个消息频率分别为

消息带宽取最高频率

偏移比为

相位偏移峰值按两项峰值相加估计：

Carson 法则给出

15-4 Q3 Armstrong 间接 FM 设计 Armstrong Indirect FM Design

15-4-1 题目 Problem

PROBLEM Q3

设计 Armstrong 间接 FM 调制器，目标为

已知：

• 可用 NBFM 发生器：，；
• 只能使用有限个 frequency doubler；
• 可用 到 的可调振荡器、混频器和任意规格 BPF。

---

15-4-2 解法 Solution

SOLUTION

先按目标频偏确定总倍频数：

因此需要 个 frequency doublers。倍频后：

此时频偏已经满足目标。后续只能用变频器调整载波，因为理想混频不会改变 。

若只允许一次混频，要从 变到 ，本振频率必须满足

或

这两个值均不在题目给定的 到 范围内。

因此，按单本振、单次混频解释题面时，精确满足目标频偏并得到 载波不可行。

若振荡器范围是 OCR 误差，或允许额外本振，则可采用：

WARNING

这个题面的频偏条件和 单本振条件存在冲突。若考试或作业给出同题，需先确认本振范围或是否允许两级变频。

15-5 Q4 FM 与 PM 带宽敏感性 Bandwidth Sensitivity of FM and PM

15-5-1 题目 Problem

PROBLEM Q4

给定消息信号

1. 估计 FM 与 PM 输出带宽；
2. 若消息幅度加倍，重复计算；
3. 若消息频率加倍，重复计算；
4. 说明 FM 与 PM 带宽对消息频谱的敏感性。

---

15-5-2 解法 Solution

SOLUTION

原消息频率为

FM 峰值频偏为

Carson 法则：

PM 的瞬时频偏为

所以

若消息幅度加倍，：

若消息频率加倍，，幅度仍为 ：

整理为表：

情况
原信号
幅度加倍
频率加倍

FM 的频偏主要由消息幅度决定，消息最高频率通过 Carson 法则中的 进入带宽。PM 的频偏与 成正比，所以对消息频率更敏感。

15-6 Q5 单音角度调制带宽 Single-Tone Angle-Modulation Bandwidth

15-6-1 题目 Problem

PROBLEM Q5

考虑已调信号

其中

1. 求调制指数 ；
2. 若采用 FM，求带宽；
3. 若采用 PM，求带宽。

---

15-6-2 解法 Solution

SOLUTION

该信号的附加相位为

对单音 FM，标准形式为

因此

FM 中

所以

Carson 法则给出

若按 PM 理解， 是峰值相位偏移。PM 的峰值频偏为

因此

本题是单音信号，且给出的相位形式相同，所以 FM 与 PM 的 Carson 带宽数值相同。区别在于：FM 中 ；PM 中 先表示峰值相位偏移，再通过导数产生同样的频偏。