Baseband and Passband Signals
章节目录
- 4-1 信号带宽 Signal Bandwidth
- 4-2 能量谱密度与功率谱密度 ESD and PSD
- 4-3 基带和通带信号 Baseband and Passband Signals
- 4-4 基带到通带 Baseband to Passband
- 4-5 复包络 Complex Envelope
- 4-6 复习重点 Review Checklist
4-1 信号带宽 Signal Bandwidth
4-1-1 带宽的含义 Meaning of Bandwidth
信号带宽 Signal Bandwidth
信号带宽 Signal Bandwidth 描述信号在频域中占用的频率范围。
例如 WiFi 信号可能占用
带宽和数据速率、信号变化速度、滤波器设计、频谱监管直接相关。通信系统设计时，信号必须落在被分配或允许使用的频段内。
4-1-2 正频率和共轭对称 Positive Frequencies and Conjugate Symmetry
物理通信信号通常是实值时域信号。若：
则其频谱满足 共轭对称 Conjugate Symmetry：
因此幅度谱满足：
负频率用于表示复指数旋转方向。对实值信号，正频率部分已经能确定负频率部分。
4-1-3 本质带宽 Essential Bandwidth
本质带宽 Essential Bandwidth
本质带宽 Essential Bandwidth 是包含信号主要能量或功率的频率范围。范围之外的频谱分量可以被抑制，且对信号形状和能量影响较小。
实际信号的频谱常延伸到无穷远，但有限能量信号的频谱必须在远离主要频段时趋近于
若
Parseval 定理为：
对低通信号，若希望选择包含
要求：
同理也可以使用
4-1-4 其他带宽定义 Other Width Definitions
课程中提到的其他宽度定义包括：
| 定义 | 含义 |
|---|---|
| 包含总能量 | |
| 包含总能量 | |
| 半幅宽度 Half Amplitude Width | 幅度下降到峰值一半处的宽度 |
| 半功率宽度 Half Power Width | 功率下降到峰值一半处的宽度，幅度为峰值的 |
| 包含总能量一半的频带 |
半功率点常称为
4-2 能量谱密度与功率谱密度 ESD and PSD
4-2-1 能量谱密度 Energy Spectral Density
能量谱密度 Energy Spectral Density
对能量信号
总能量可由 ESD 积分得到：
ESD 表示信号能量在频率轴上的分布。若某段频率上的
4-2-2 自相关 Autocorrelation
自相关 Autocorrelation
能量信号
自相关描述信号与自身延迟版本之间的相似度。当
自相关和能量谱密度是一对 Fourier 变换关系：
这条关系将时域相似性和频域能量分布连接起来。
4-2-3 功率谱密度 Power Spectral Density
功率谱密度 Power Spectral Density
对功率信号
功率信号的自相关定义为：
PSD 是自相关的 Fourier 变换：
平均功率由 PSD 积分得到：
能量信号使用 ESD，功率信号使用 PSD。通信中的噪声、周期载波和长时间数据流通常按功率谱密度处理。
4-3 基带和通带信号 Baseband and Passband Signals
4-3-1 基带信号 Baseband Signal
基带信号 Baseband Signal
基带信号 Baseband Signal 的能量或功率集中在直流 DC 附近的低频带内。
若基带信号记为
其中
实值基带信号满足：
所以频谱关于
4-3-2 通带信号 Passband Signal
通带信号 Passband Signal
通带信号 Passband Signal 的能量或功率集中在远离直流的某个载波频率附近。
若通带信号中心频率为
也就是说，正频率通带大约覆盖
通常要求：
这样正频段和负频段不会压到 DC 附近，也便于用复包络描述。
4-3-3 基带信道和通带信道 Baseband and Passband Channels
信道常用 LTI 系统近似。信号先通过信道，再叠加噪声：
其中：
：发射信号； ：信道冲激响应； ：噪声； ：接收信号。
按频段分：
| 类型 | 频率位置 | 例子 |
|---|---|---|
| 基带信道 Baseband Channel | DC 附近 | 有线数字基带链路、短距离音频链路 |
| 通带信道 Passband Channel | 某个载波频率附近 | 无线电、蜂窝、卫星、微波链路 |
通带系统可以用复基带形式统一处理。这样做可以把高频载波的快速振荡移除，只分析承载信息的慢变化包络。
4-4 基带到通带 Baseband to Passband
4-4-1 余弦和正弦调制 Cosine and Sine Modulation
设
乘以余弦载波：
由调制性质：
乘以正弦载波：
对应频谱为：
余弦和正弦调制都会把基带频谱搬移到
4-4-2 I 和 Q 分量 I and Q Components
I 分量 In-phase Component
I 分量 In-phase Component 是乘在余弦载波上的基带分量，常记为
Q 分量 Quadrature Component
Q 分量 Quadrature Component 是乘在负正弦载波上的基带分量，常记为
通带信号可写成：
4-4-3 上变频 Upconversion
上变频 Upconversion
上变频 Upconversion 是把基带信号搬移到通带频率附近的过程，通常发生在发射机中。
IQ 上变频公式为：
实际发射机可能分多级上变频。每一级都要满足频谱模板、镜像抑制和带外发射限制。
4-4-4 下变频 Downconversion
下变频 Downconversion
下变频 Downconversion 是把通带接收信号搬回基带的过程，通常发生在接收机中。
接收机若拥有与来波同频同相的本地载波，则称为 相干接收 Coherent Reception。
恢复 I 分量时，将
低通滤波器去除
恢复 Q 分量时，将
低通后：
4-4-5 I 和 Q 的正交性 Orthogonality of I and Q
正交 Orthogonality
两个信号在给定积分区间上的内积为
余弦和正弦载波在整数个载波周期上正交：
其中
这使 I 和 Q 两个分量可以在同一个频率上并行承载信息。乘法下变频后，目标分量落回 DC 附近，交叉项落在
4-5 复包络 Complex Envelope
4-5-1 矩形坐标和极坐标 Rectangular and Polar Forms
复包络 Complex Envelope
通带信号的 复包络 Complex Envelope 是：
通带信号可由复包络重建：
代入
复包络也可以写成极坐标：
其中：
于是通带信号也可以写作：
三种等价表示：
| 表示 | 公式 | 含义 |
|---|---|---|
| I/Q 矩形坐标 | 两条正交基带分支 | |
| 包络相位 | 幅度包络和瞬时相位 | |
| 复包络 | 现代收发机最常用形式 |
4-5-2 频域构造 Frequency Domain Construction
对实值通带信号
构造解析通带信号
复基带信号由解析通带信号下移
频域中：
反过来，实值通带频谱可由解析信号恢复：
时域中：
由于
4-5-3 现代收发机 Modern Transceivers
现代收发机主要处理复基带信号，原因有三点：
- 固定载波
引入的快速相位旋转是可预测的； - 信息位于
、 或 的慢变化中； - 复基带采样率由带宽决定，远低于直接采样通带载波所需的速率。
通带滤波也可以等效搬到复基带处理。若通带系统的正频率响应搬移到基带，数字滤波器可以直接作用于复样本序列。
课程后面出现的 AM、FM、PM、QAM 和数字调制，都会反复使用复基带表示。
4-5-4 频率和相位参考 Choice of Reference
复基带表示依赖选择的频率参考和相位参考。设同一个通带信号有两种表示：
把第一种表示改写为第二个参考：
比较可得：
更换参考频率会在复包络中引入额外旋转；更换相位参考会引入常数相位旋转。
4-6 复习重点 Review Checklist
4-6-1 本讲公式 Formula List
| 内容 | 公式 |
|---|---|
| 实值信号共轭对称 | |
| Parseval 定理 | |
| 本质带宽能量比例 | |
| ESD | |
| PSD | |
| 基带频谱 | |
| 通带条件 | |
| 余弦调制 | |
| 正弦调制 | |
| IQ 通带信号 | |
| 复包络 | |
| 通带重建 | |
| 包络相位 | |
| 参考变换 |
4-6-2 概念关系 Concept Map
本讲的主线：
复习时按下面几句话串起来：
- 带宽描述信号频谱占用；
- 本质带宽用能量或功率比例定义；
- 基带信号集中在 DC 附近；
- 通带信号集中在
附近； - 乘以载波会把基带频谱搬移到通带；
- I 和 Q 使用正交载波并行承载两个基带分量；
- 复包络
包含通带信号的全部信息； - 现代通信收发机主要在复基带中完成 DSP。