Lecture 12 : RC Circuit

字数 3,143｜阅读时间 7 分钟｜Cateds

2025/01/12 18:30:30 CST

这课上的真是同时折磨所有人

能同时折磨听课的，不听课的和老师的课程安排，能做出来也是一种奇迹。

Natural Response of RC Circuit（RC电路的自然响应）

RC电路的UI关系

自然响应（Natural Response）是指在电路中没有外加电源的情况下，电路中的电压和电流的变化情况。对于一个RC电路，它的自然响应是指在电容器上的电压和电流的变化情况。即使没有外部信号输入，其内部的信号也会发生变化。

对于一个标准的RC电路，可以通过KCL和KVL来得到这样的微分方程：

把这个方程化简可得

由此，我们得出了RC电路的自然响应的表达式 。其中， 是一个常数，它由初始条件决定。

当 时， ，即为电容器上的电压。

而电路中的电流 也可以通过电压和电阻的关系得到：

或者

电容上释放的功率是：

这也同时是电阻上消耗的功率。

所以：

当 时， ，即电容器上的能量全部转化为电阻上的热能。

这里推导的所有表达式都是针对于 的情况。

有的时候，表达式会写成针对 的情况，这时候会乘一个 。这个函数的定义是在 时为1，在 时为0。

另一点需要注意的是，RC电路的R和C可以是整个电路中等效的R和C，而并不一定是分立的电阻和电容元件。

RC电路的时间常数

在RC电路中，有一个重要的参数叫做时间常数（Time Constant），记作 。它的定义是：

因此， 的表达式可以写成：

时间常数 是一个描述电路响应速度的参数。它的值越大，电路的响应速度越慢。

它的物理意义是：当 时，电容器上的电压下降到原来的 。将这个时间常数代入电压的表达式中，可以得到：

对于需要进行电路等效的情况，可以通过等效电路的方法来得到RC电路的时间常数，即 。

Step Response of RC Circuit（RC电路的阶跃响应）

阶跃响应（Step Response）是指在电路中有一个阶跃信号输入的情况下，电路中的电压和电流的变化情况。对于一个RC电路，它的阶跃响应是指在电容器上的电压和电流的变化情况。

将顺时针看作压降的正方向，根据KVL，可以写出网孔方程：

进而可得

综上，我们得到了RC电路的阶跃响应的表达式 。其中， 是阶跃信号的幅值， 是电容器上的电压。

同样的，时间常数 也可以用来描述RC电路的阶跃响应.

从图中可以看出，时间常数 越大，则电路的响应速度越慢。在 时，电压变化量的大小是 。

可以看出，当 时， ，即电容器上的电压最终会达到阶跃信号的大小。

同样的，可以求得电路中的电流 和电容器上释放的功率 ：

---