Lecture 16 : First-Order Filters

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2025/01/12 18:30:30 CST

前情提要

具体内容见：

Lecture 15 : AC Circuits

Frequency Response / Transfer Function (频率响应 / 传递函数)

电路的频率响应(Frequency Responce)指的向电路里输入不同从0到无穷的频率信号时，输出的幅度和相位的变化。

对于一个电路，他的传递函数(Transfer Function)是输入和输出之间的关系，表示为 ，其中 是频率。它的定义是相量输出 与相量输入 的比值。

传递函数有很多类型，比如：

• 电压的增益
• 电流的增益
• 阻抗
• 导纳

Filter (滤波器)

理想滤波器

滤波器是指具有特定的传递函数的电路，用于过滤输入信号中的某些频率成分，允许一定的频率成分通过并阻止一定的频率成分。

滤波器有很多种类型，比如：

• 低通滤波器(Low-Pass Filter, LPF)
  • 允许低频信号通过，阻止高频信号通过
• 高通滤波器(High-Pass Filter, HPF)
  • 允许高频信号通过，阻止低频信号通过
• 带通滤波器(Band-Pass Filter, BPF)
  • 允许某一范围的频率信号通过，阻止其他频率信号通过
• 带阻滤波器(Band-Stop Filter, BSF)
  • 阻止某一范围的频率信号通过，允许其他频率信号通过

无法被物理实现的滤波器称为理想滤波器(Ideal Filter)，它的传递函数是矩形函数，即可以表现为多个阶跃函数的组合。

实际滤波器

然而，对于实际的电路，我们无法实现理想的滤波器，因为理想滤波器的传递函数是不连续的，无法通过电路来实现。在实际的滤波器中，通带并不会全为1，而阻带也不会全为0，并且通带与阻带之间会有一个过渡带。

实际的滤波器分为数字滤波器和模拟滤波器:

• 数字滤波器
  • 指的是用计算机或者特定设计的数字元件实现的滤波器，基于数字信号进行运算
• 模拟滤波器
  • 通常由模拟元件（如电阻、电感、电容、运算放大器）构成，基于模拟信号进行运算、
  • 可能是有源滤波器(Active Filter)或者无源滤波器(Passive Filter)
    • 无源滤波器是指不包含有源元件（如运算放大器）的滤波器，只包含被动元件（如电阻、电感、电容）
    • 有源滤波器是指包含有源元件的滤波器，通常包含运算放大器

滤波器的参数

• 陡降率(Roll-Off Rate)
  • 在阻带与通带之间的过渡带中，频率响应随频率变化的速率
• 截止频率(Cutoff Frequency)
  • 指的是滤波器的传递函数下降到 时的频率
  • 此处输出信号的功率为输入信号的一半，对应的增益大小是
• 响应频率(Response Frequency)
  • 电容大小与感抗大小相等时的频率
  • 此时产生纯电阻的阻抗
  • 也是滤波器的中心频率
• 带宽(Bandwidth)
  • 适用于带通滤波器和带阻滤波器
  • 通带的频率范围
  • 对于一个带通滤波器，带宽是指上部的截止频率与下部的截止频率之间的频率范围
  • 带阻滤波器同理
• 品质因数(Quality Factor)
  • 反映了一个滤波器对于频率的选择性
  • 对于带通滤波器和带阻滤波器，品质因数是指中心频率与带宽之比
  • 越大，滤波器的选择性越高，带宽越窄

一阶滤波器的分析

RC 低通滤波器

于是，RC滤波器的增益的传递函数为：

把传递函数写作极坐标形式，则有:

所以，RC滤波器的相位响应为：

当直流输入时, ， ， 。最终输出的信号与输入信号相同。此时电容的阻抗为无穷大，相当于开路。

当 时， ， 。最终输出的信号为0。此时电容的阻抗为0，相当于短路。

当截止频率时，有 ， 。此时输出信号的幅度为输入信号的 ，相位为 。可以代入求得 ，即截止频率为 。

CR 高通滤波器

类似的，有

于是可以推得

同样的，在 时， ， 。最终输出的信号为0。此时电容的阻抗为无限大，相当于开路；

在 时， ， 。最终输出的信号与输入信号相同。此时电容的阻抗为0，相当于短路。

RL 高通滤波器

幅度增益和相位响应分别为：

可以发现这是一个高通滤波器。

在截止频率时，可以求得 ，即截止频率为 。此时输出信号的幅度为输入信号的 ，相位为 。

LR 低通滤波器

可以求得：

因此，幅度增益和相位响应分别为：

可以发现这是一个低通滤波器。

在截止频率时，可以求得 ，即截止频率为 。此时输出信号的幅度为输入信号的 ，相位为 。

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Summary